Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2023

Question

Qual é a razão entre as áreas dos quadrados XYZW e ABCD da figura?

Figura geométrica mostrando um quadrado maior ABCD com sua diagonal AC traçada. Dentro do triângulo ABC, está inscrito um quadrado menor XYZW, de modo que os vértices W e Z pertencem à diagonal AC, o vértice X pertence ao lado AB e o vértice Y pertence ao lado BC.

A
2/9
B
1/8
C
3/4
D
5/9
E
2/3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Qual é a razão entre as áreas dos quadrados XYZW e ABCD da figura?

Figura geométrica mostrando um quadrado maior ABCD com sua diagonal AC traçada. Dentro do triângulo ABC, está inscrito um quadrado menor XYZW, de modo que os vértices W e Z pertencem à diagonal AC, o vértice X pertence ao lado AB e o vértice Y pertence ao lado BC.

A
2/9
B
1/8
C
3/4
D
5/9
E
2/3

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A figura apresenta o quadrado ABCD dividido em duas metades pela diagonal AC. Traçando as diagonais do quadrado XYZW e as alturas dos triângulos AXW e YZC, relativas às bases AX e YC, respectivamente, percebe-se que metade do quadrado ABCD é formada por 9 triângulos congruentes a XBY. Consequentemente, todo o quadrado ABCD é formado por 18 desses mesmos triângulos. Uma vez que o quadrado XYZW é formado por 4 desses triângulos, a razão entre as áreas dos quadrados é 4/18 = 2/9.

[Figura: Quadrado ABCD com vértices A (inferior esquerdo), B (inferior direito), C (superior direito) e D (superior esquerdo). A diagonal AC está traçada. O quadrado XYZW tem vértices W e Z sobre a diagonal AC, X sobre o lado AB e Y sobre o lado BC. Estão representadas linhas auxiliares em traço mais fino: as diagonais XZ e WY do quadrado XYZW, o segmento vertical de W até a base AB e o segmento horizontal de Z até o lado BC, decompondo a metade ABC do quadrado em 9 triângulos retângulos congruentes.]

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Resolução comentada

Seja \ell o lado de ABCD. A diagonal AC divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles, e o quadrado XYZW está inscrito no triângulo ABC, com dois vértices (W e Z) na hipotenusa AC.

O lado WX é perpendicular a AC, e o ângulo em A mede 45^\circ. Logo o triângulo AWX é retângulo isósceles, com AW = WX = s (lado do quadrado pequeno). O mesmo vale para o triângulo ZCY: ZC = ZY = s.

Assim, a diagonal fica dividida em três partes:

AC = AW + WZ + ZC = s + s + s = 3s

Como AC = \ell\sqrt{2}, temos:

3s = \ell\sqrt{2} \Rightarrow s = \frac{\ell\sqrt{2}}{3}

As áreas são:

Quadrado pequeno: s^2 = \dfrac{2\ell^2}{9}.
Quadrado grande: \ell^2.

Razão:

\frac{s^2}{\ell^2} = \frac{2}{9}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma divisão correta da diagonal; a diagonal fica em três partes iguais a s, não quatro.
CValor sem relação com a geometria da figura; o quadrado pequeno ocupa só uma fração pequena do grande.
DValor grande demais: o quadrado pequeno cabe dentro de metade do grande, e 5/9 excede 1/2.
ETambém excede 1/2, impossível pois o quadrado está dentro do triângulo ABC, que é metade de ABCD.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 7 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗