Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2023

Question

Nove amigos comeram 5 pizzas, algumas cortadas em 6 fatias e outras cortadas em 8 fatias. Todos comeram o mesmo número de fatias e não sobrou nada. Quantas fatias cada um comeu?

Ilustração mostrando duas pizzas servidas sobre suportes redondos em uma mesa, uma dividida em 6 fatias e outra em 8 fatias, e três caixas de pizza fechadas empilhadas ao fundo.

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Nove amigos comeram 5 pizzas, algumas cortadas em 6 fatias e outras cortadas em 8 fatias. Todos comeram o mesmo número de fatias e não sobrou nada. Quantas fatias cada um comeu?

Ilustração mostrando duas pizzas servidas sobre suportes redondos em uma mesa, uma dividida em 6 fatias e outra em 8 fatias, e três caixas de pizza fechadas empilhadas ao fundo.

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Basta contar o número de fatias e observar se o resultado é um múltiplo de 9.

Se todas as cinco pizzas tivessem sido cortadas em 6 fatias, teríamos um total de 6 \times 5 = 30 fatias, o que não permitiria a divisão exata entre os 9 amigos.

Se quatro pizzas tivessem sido cortadas em 6 e uma em 8, teríamos 6 \times 4 + 8 \times 1 = 32 pedaços, divisão novamente incorreta.

Se três pizzas tivessem sido cortadas em 6 e duas em 8, teríamos 6 \times 3 + 2 \times 8 = 34 pedaços, divisão novamente incorreta.

Se duas pizzas tivessem sido cortadas em 6 e três em 8, teríamos 6 \times 2 + 3 \times 8 = 36 pedaços. Nesse caso, cada amigo teria comido 4 pedaços, pois 9 \times 4 = 36.

Se uma pizza tivesse sido cortada em 6 e quatro em 8, teríamos 6 \times 1 + 4 \times 8 = 38 pedaços, divisão novamente incorreta.

Finalmente, a possibilidade de termos as cinco pizzas com 8 fatias resultariam em 40 pedaços, impossível de dividir exatamente por 9.

Logo, os 9 amigos comeram 4 fatias cada. Note que eles não comeram a mesma quantidade de pizza, mas sim a mesma quantidade de fatias.

Outra solução:

Sejam x o número de pizzas cortadas em 6 fatias e y o número de pizzas cortadas em 8 fatias. O enunciado diz que x + y = 5, o que nos dá as possbilidades (x,y) = (5,0),(4,1),(3,2),(2,3),(1,4),(0,5). Além disso, o número total de fatias em que as pizzas foram cortadas é 6x + 8y; como essas foram igualmente divididas entre os 9 amigos, segue que 6x + 8y deve ser um múltiplo de 9. Substituindo os possíveis valores de (x,y) nessa expressão, vemos que o único múltiplo de 9 que aparece é 2 \times 6 + 3 \times 8 = 36, ou seja, duas pizzas cortadas em 6 fatias e três pizzas em 8 fatias. Segue que cada um dos amigos comeu (36/9) = 4 fatias.

Uma maneira de tornar essa solução mais rápida é escrever o número de fatias como 9z e reescrever 6x + 8y = 9z como

8y = 9z - 6x = 3(3x - 2z).

Isso mostra que 8y deve ser um múltiplo de 3, que só acontece para y = 3 e chegamos à solução (2,3), como acima.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Seja x o número de pizzas de 6 fatias e 5-x o de pizzas de 8 fatias. O total de fatias é

6x + 8(5-x) = 40 - 2x.

Como os 9 amigos comeram o mesmo número de fatias e não sobrou nada, esse total precisa ser múltiplo de 9.

Como x vai de 0 a 5, o total 40-2x varia entre 30 (se x=5) e 40 (se x=0).
Os múltiplos de 9 nesse intervalo: só o 36.
Então 40-2x=36, logo x=2: são 2 pizzas de 6 fatias e 3 de 8 fatias.
Conferindo: 2\cdot 6 + 3\cdot 8 = 12+24 = 36 fatias.
Cada amigo comeu 36 \div 9 = 4 fatias.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bdaria 45 fatias, mais do que as 40 possíveis se todas as pizzas tivessem 8 fatias.
Cdaria 54 fatias, impossível com 5 pizzas de no máximo 8 fatias.
Ddaria 63 fatias, muito acima do máximo de 40.
Edaria 72 fatias, muito acima do máximo de 40.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗