Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2023

Question

Nove amigos comeram 5 pizzas, algumas cortadas em 6 fatias e outras cortadas em 8 fatias. Todos comeram o mesmo número de fatias e não sobrou nada. Quantas fatias cada um comeu?

Duas pizzas sobre uma mesa, uma cortada em 6 fatias e a outra em 8 fatias, ao lado de três caixas de pizza empilhadas.

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Nove amigos comeram 5 pizzas, algumas cortadas em 6 fatias e outras cortadas em 8 fatias. Todos comeram o mesmo número de fatias e não sobrou nada. Quantas fatias cada um comeu?

Duas pizzas sobre uma mesa, uma cortada em 6 fatias e a outra em 8 fatias, ao lado de três caixas de pizza empilhadas.

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Basta contar o número de fatias e observar se o resultado é um múltiplo de 9.

Se todas as cinco pizzas tivessem sido cortadas em 6 fatias, teríamos um total de 6 \times 5 = 30 fatias, o que não permitiria a divisão exata entre os 9 amigos.

Se quatro pizzas tivessem sido cortadas em 6 e uma em 8, teríamos 6 \times 4 + 8 \times 1 = 32 pedaços, divisão novamente incorreta.

Se três pizzas tivessem sido cortadas em 6 e duas em 8, teríamos 6 \times 3 + 2 \times 8 = 34 pedaços, divisão novamente incorreta.

Se duas pizzas tivessem sido cortadas em 6 e três em 8, teríamos 6 \times 2 + 3 \times 8 = 36 pedaços. Nesse caso, cada amigo teria comido 4 pedaços, pois 9 \times 4 = 36.

Se uma pizza tivesse sido cortada em 6 e quatro em 8, teríamos 6 \times 1 + 4 \times 8 = 38 pedaços, divisão novamente incorreta.

Finalmente, a possibilidade de termos as cinco pizzas com 8 fatias resultariam em 40 pedaços, impossível de dividir exatamente por 9.

Logo, os 9 amigos comeram 4 fatias cada. Note que eles não comeram a mesma quantidade de pizza, mas sim a mesma quantidade de fatias.

Outra solução:

Sejam x o número de pizzas cortadas em 6 fatias e y o número de pizzas cortadas em 8 fatias. O enunciado diz que x + y = 5 , o que nos dá as possbilidades (x,y) = (5,0),(4,1),(3,2),(2,3),(1,4),(0,5). Além disso, o número total de fatias em que as pizzas foram cortadas é 6x + 8y; como essas foram igualmente divididas entre os 9 amigos, segue que 6x + 8y deve ser um múltiplo de 9. Substituindo os possíveis valores de (x,y) nessa expressão, vemos que o único múltiplo de 9 que aparece é 2 \times 6 + 3 \times 8 = 36, ou seja, duas pizzas cortadas em 6 fatias e três pizzas em 8 fatias. Segue que cada um dos amigos comeu (36/9) = 4 fatias.

Uma maneira de tornar essa solução mais rápida é escrever o número de fatias como 9z e reescrever 6x + 8y = 9z como

8y = 9z - 6x = 3(3x - 2z).

Isso mostra que 8y deve ser um múltiplo de 3, que só acontece para y = 3 e chegamos à solução (2,3), como acima.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Sejam x as pizzas de 6 fatias e y as de 8 fatias, com x + y = 5. O total de fatias é 6x + 8y.

Como os 9 amigos comeram o mesmo número de fatias e não sobrou nada, o total de fatias precisa ser múltiplo de 9. Vamos testar as possibilidades:

x=0, y=5: 0 + 40 = 40, que não é múltiplo de 9.
x=1, y=4: 6 + 32 = 38, não é múltiplo de 9.
x=2, y=3: 12 + 24 = 36, que é 9 \times 4. Serve!
x=3, y=2: 18 + 16 = 34, não serve.
x=4, y=1: 24 + 8 = 32, não serve.
x=5, y=0: 30, não serve.

A figura mostra pizzas dos dois tipos, e o único caso que serve é o de 2 pizzas de 6 fatias e 3 de 8 fatias, com 36 fatias no total.

Dividindo entre os 9 amigos:

\frac{36}{9} = 4

Cada amigo comeu 4 fatias.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BDaria 45 fatias no total, mais do que o máximo possível de 40 fatias com 5 pizzas.
CDaria 54 fatias, impossível com 5 pizzas de no máximo 8 fatias (máximo 40).
DDaria 63 fatias, muito acima do máximo de 40.
EDaria 72 fatias, impossível; confunde o número de fatias de uma pizza com o que cada amigo comeu.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 13 no caderno Nível 1 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗