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Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A estrela de cinco pontas da figura é formada ligando vértices de um pentágono regular, sempre pulando um vértice. A área em azul dessa estrela representa qual fração da área total da estrela?

Figura de um pentágono regular tracejado circunscrevendo uma estrela de cinco pontas delineada em preto. A estrela é formada pelas diagonais do pentágono, mas sem a diagonal que liga os dois vértices inferiores às pontas laterais opostas na parte central inferior (a base interna inferior é aberta em V invertido, formando o contorno de uma estrela de cinco pontas, com dois traços internos verticais inclinados que partem do vértice superior até os vértices inferiores e um traço horizontal ligando as duas pontas laterais). Uma faixa central em formato de trapézio isósceles invertido, compreendida entre o segmento horizontal que une as duas pontas laterais e um segmento horizontal menor abaixo dele que une as duas diagonais que descem do vértice superior, está pintada de azul.

  1. A
    \dfrac{3}{7}
  2. B
    \dfrac{3}{5}
  3. C
    \dfrac{1}{2}
  4. D
    \dfrac{3}{4}
  5. E
    \dfrac{5}{6}
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A estrela pode ser dividida em um pentágono regular central e cinco triângulos congruentes, um em cada ponta. Chame de a a área de cada um desses triângulos.

Nomeie os vértices do pentágono central, em sentido horário, como P,Q,R,S,T, começando pelo vértice superior esquerdo. Assim, a parte azul dentro dele é o trapézio PQRT, e o triângulo inferior RST não está pintado.

Trace a diagonal PR. O trapézio fica dividido nos triângulos PQR e PRT.

O triângulo PQR é congruente a RST: ambos são formados por dois lados consecutivos do pentágono regular e pelo ângulo entre eles. Portanto, suas áreas são iguais; chame-as de b.

Já o triângulo PRT tem ângulos de 36^\circ, 72^\circ e 72^\circ, como cada ponta da estrela. Além disso, seu lado menor, PT, tem o mesmo comprimento da base de uma ponta. Logo, eles são congruentes, e sua área é a.

A região azul contém duas pontas e os triângulos PQR e PRT:

A_{\text{azul}}=2a+b+a=3a+b.

A região não pintada contém as outras três pontas e RST, somando também 3a+b. Portanto, a fração azul é \frac12.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde à decomposição: as regiões azul e não pintada têm áreas iguais.
  • BA região azul não ocupa três quintos da estrela, mas exatamente metade.
  • DSuperestima a área azul, que é igual à área não pintada.
  • EA parte não pintada corresponde à metade da estrela, e não a um sexto.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Semelhança e Teorema de Tales.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗