Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Os números de dois algarismos vão de 10 a 99, ou seja, são 90 números. A ideia é formar pares cuja soma seja 86 e escolher no máximo um número de cada par.

Se a + b = 86 com a < b e ambos entre 10 e 99, então a \ge 10 e b = 86 - a \le 76. Logo a varia de 10 a 42, pois a < b exige a < 43.

1. Pares: (10,76), (11,75), \ldots, (42,44). São 42 - 10 + 1 = 33 pares.
2. O número 43 forma par consigo mesmo (43+43=86). Mas a soma é de dois números distintos, então 43 não cria problema e pode ser usado.
3. Números que não estão em nenhum par: de 77 a 99, que são 99 - 77 + 1 = 23 números (não existe 86 - x de dois algarismos para eles), mais o 43.

Contagem dos 90 números: 33 pares usam 66 números; sobram 90 - 66 = 24 números livres (o 43 e os 23 de 77 a 99).

De cada par escolhemos apenas 1 número, então o máximo é:

É possível atingir esse valor: pegamos todos os 24 livres e, por exemplo, o menor de cada par. Nenhuma soma de dois deles dá 86.

Alternativa C.

Pegadinha: O número 43 não tem par diferente dele (43+43=86), e como os números devem ser distintos ele pode ser usado; quem o descarta chega a 56.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só os 33 pares (mais um), esquecendo os números livres de 77 a 99 e o 43.
• BResultado sem base na contagem de pares e números livres; não corresponde a 33 + 24.
• DExcede o possível: ignora que de cada par só se pode escolher um número.
• ENão considera as restrições; o total de números de dois algarismos é 90, e 86 não é alcançável.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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