Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Os números de dois algarismos vão de 10 a 99, ao todo 90 números. Precisamos escolher o maior grupo possível em que dois números distintos nunca somem 86.

Para isso, formamos os pares que somam 86: o par de a é 86-a. Esse par só existe se 86-a também tiver dois algarismos, isto é, se 10\le a\le 76.

1. Os pares são (10,76),(11,75),\dots,(42,44). Como a vai de 10 a 42, temos 33 pares.
2. O número 43 formaria par com ele mesmo (43+43=86), mas o enunciado fala de números distintos. Logo 43 pode ser usado sem problema.
3. Os números de 77 a 99 não têm par, pois 86-77=9 não tem dois algarismos. São 23 números.

De cada um dos 33 pares só podemos escolher um número, senão a soma dá 86. Isso dá no máximo 33 números. Os outros números (43 e os de 77 a 99) não têm restrição: são 1+23=24.

Total máximo: 33+24=57.

Conferindo: 90-33=57, pois descartamos exatamente um número de cada par.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B (43) engana quem pensa no número 43, que somado a ele mesmo dá 86; como os números devem ser distintos, o 43 pode ficar.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta apenas os 33 pares (e mais 1), esquecendo os números de 77 a 99 que não têm par.
• BResulta de tratar o 43 como par de si mesmo, ou de uma contagem errada; não corresponde ao máximo.
• DMais do que o possível: ignora que de cada um dos 33 pares só pode ficar um número.
• EConfunde com o valor da soma 86; o total de números é só 90 e há restrições.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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