Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2023

Question

Alice, Beatriz, Cláudia e Daniela estão vestidas de azul, branco, vermelho e preto, cada uma de uma única cor. Elas conversam sentadas em círculo. A menina de azul, que não é nem Alice nem Cláudia, está entre a menina de branco e Daniela. A menina de preto está entre a menina de vermelho e Cláudia. Quais são as cores que Alice, Beatriz, Cláudia e Daniela estão usando, nessa ordem?

A
preto, azul, vermelho e branco
B
preto, vermelho, branco e azul
C
vermelho, preto, azul e branco
D
vermelho, azul, branco e preto
E
preto, azul, branco e vermelho

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Alice, Beatriz, Cláudia e Daniela estão vestidas de azul, branco, vermelho e preto, cada uma de uma única cor. Elas conversam sentadas em círculo. A menina de azul, que não é nem Alice nem Cláudia, está entre a menina de branco e Daniela. A menina de preto está entre a menina de vermelho e Cláudia. Quais são as cores que Alice, Beatriz, Cláudia e Daniela estão usando, nessa ordem?

A
preto, azul, vermelho e branco
B
preto, vermelho, branco e azul
C
vermelho, preto, azul e branco
D
vermelho, azul, branco e preto
E
preto, azul, branco e vermelho

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

De acordo com o enunciado, a frase “A menina de azul, que não é nem Alice nem Cláudia, está entre a menina de branco e Daniela” nos revela que Alice, Beatriz e Daniela não vestem azul. Logo, Beatriz veste azul e está ao lado de Daniela, que veste preto ou vermelho. Já a frase “A menina de preto está entre a menina de vermelho e Cláudia” nos revela que Cláudia não veste preto nem vermelho, e como também não veste azul, a única cor possível para Cláudia vestir é branco. Resta saber se Alice e Daniela vestem preto ou vermelho. Como Beatriz (a menina de azul) está entre Cláudia (a menina de branco) e Daniela, e como a menina de preto está entre a menina de vermelho e a menina de branco (Cláudia), a menina de preto não está ao lado de Beatriz, e assim Daniela só pode vestir vermelho. Conclusão: Alice veste preto; Beatriz, azul; Cláudia, branco; e Daniela, vermelho.

Outra solução:

Montamos um grafo e um a tabela para nos ajudar a organizar as informações do enunciado:

[Figura: grafo formado por 4 vértices circulares dispostos em anel conectados por segmentos, todos em branco]

	Alice	Beatriz	Cláudia	Daniela
Azul
Branco
Vermelho
Preto

A frase “A menina de azul, que não é nem Alice nem Cláudia, está entre a menina de branco e Daniela” nos permite preencher alguns dados:

[Figura: grafo de 4 vértices dispostos em anel: o do topo tem rótulo "Beatriz" acima e "Azul" dentro; o da esquerda tem "Branco" dentro; o da direita tem o rótulo "Daniela" externamente; o inferior está em branco]

	Alice	Beatriz	Cláudia	Daniela
Azul	não	sim	não	não
Branco		não
Vermelho		não
Preto		não

Continuamos os preenchimentos com as informações da frase: “A menina de preto está entre a menina de vermelho e Cláudia”:

[Figura: grafo em anel: vértice do topo com "Beatriz" fora e "Azul" dentro; vértice da esquerda com rótulo "Cláudia" fora e "Branco" dentro; vértice da direita com "Daniela" fora e interior em branco; vértice inferior em branco]

	Alice	Beatriz	Cláudia	Daniela
Azul	não	sim	não	não
Branco	não	não	sim	não
Vermelho		não	não
Preto		não	não

Finalmente, se Daniela vestisse preto, ela estaria entre a de vermelho e Cláudia, o que não ocorre, como vemos no grafo acima. Logo, Daniela veste vermelho e, como consequência, Alice veste preto. Podemos completar assim todas as informações:

[Figura: grafo circular totalmente preenchido: vértice superior com "Beatriz" fora e "Azul" dentro; à direita, "Daniela" fora e "Vermelho" dentro; inferior, "Alice" fora e "Preto" dentro; à esquerda, "Cláudia" fora e "Branco" dentro]

	Alice	Beatriz	Cláudia	Daniela
Azul	não	sim	não	não
Branco	não	não	sim	não
Vermelho	não	não	não	sim
Preto	sim	não	não	não

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Quatro pessoas em círculo: cada uma tem duas vizinhas e uma "oposta". Dizer que X está entre Y e Z significa que Y e Z são as vizinhas de X, então Y e Z ficam em posições opostas.

A menina de azul não é Alice nem Cláudia, e também não é Daniela, pois está entre ela e a menina de branco. Logo, Beatriz está de azul.
Beatriz (azul) está entre a de branco e Daniela, então a de branco e Daniela são opostas, ambas vizinhas de Beatriz. Assim, Daniela não está de branco, e a oposta de Beatriz é a outra pessoa.
A menina de preto está entre a de vermelho e Cláudia, então vermelho e Cláudia são opostas, e a de preto não é Cláudia.
Cláudia não está de azul, nem de preto. Se estivesse de vermelho, ela seria oposta a si mesma, o que é impossível. Logo, Cláudia está de branco.
Como Cláudia (branco) e Daniela são opostas, Daniela é a vizinha de Beatriz que não é Cláudia... verificando: as vizinhas de Beatriz são Cláudia e Daniela, então a oposta de Beatriz é Alice.
A de vermelho é oposta a Cláudia, e Cláudia é oposta a Daniela? Não: de acordo com o passo 2, branco e Daniela são opostas, então Daniela é oposta a Cláudia. Logo, Daniela está de vermelho.
Sobra o preto para Alice. Conferindo: o preto (Alice) está entre vermelho (Daniela) e Cláudia, pois Alice é vizinha de Daniela e de Cláudia. Está correto.

Resultado: Alice preto, Beatriz azul, Cláudia branco, Daniela vermelho.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AColoca Cláudia de vermelho, mas a de vermelho é oposta à de preto e vizinha a Cláudia, o que contradiz o enunciado (Cláudia seria oposta a si mesma).
BPõe Beatriz de vermelho, mas a menina de azul tem de ser Beatriz.
CPõe Cláudia de azul, o que o enunciado proíbe.
DPõe Alice de vermelho e Daniela de preto, o que contradiz a condição sobre a menina de preto estar entre a de vermelho e Cláudia.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 18 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗