Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2023

Question

A figura tem 8 lados de medida 10\ \text{cm}, 4 lados de medida 20\ \text{cm}, 4 ângulos de 60^\circ, 4 ângulos de 90^\circ e 4 ângulos de 300^\circ.

Polígono não convexo de doze lados, em formato de cata-vento com quatro pontas simétricas por rotação. Em uma das pontas inferiores estão indicados um ângulo interno de 60 graus, um ângulo reto (90 graus) e um ângulo interno côncavo de 300 graus.

Qual é a área da figura?

A
100\ \text{cm}^2
B
120\ \text{cm}^2
C
200\ \text{cm}^2
D
400\ \text{cm}^2
E
420\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura tem 8 lados de medida 10\ \text{cm}, 4 lados de medida 20\ \text{cm}, 4 ângulos de 60^\circ, 4 ângulos de 90^\circ e 4 ângulos de 300^\circ.

Polígono não convexo de doze lados, em formato de cata-vento com quatro pontas simétricas por rotação. Em uma das pontas inferiores estão indicados um ângulo interno de 60 graus, um ângulo reto (90 graus) e um ângulo interno côncavo de 300 graus.

Qual é a área da figura?

A
100\ \text{cm}^2
B
120\ \text{cm}^2
C
200\ \text{cm}^2
D
400\ \text{cm}^2
E
420\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como os ângulos APM e BNM são congruentes (medem ambos 60^\text{O}), bem como os segmentos AP e BN (que medem 10\text{ cm}), concluímos que o quadrilátero PANB é um paralelogramo. Portanto, suas diagonais AB e PN se encontram em seu ponto médio M. Consequentemente, são congruentes os triângulos AMP e BMN (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Logo, a área do triângulo AMP é igual à área do triângulo BMN. Podemos concluir o mesmo com os demais triângulos fora do quadrilátero ADCB, dada a simetria de rotação de 90^\text{O} da figura. Dessa maneira, concluímos que a área da figura dada é igual à área do quadrilátero ADCB, que é um quadrado, pois AB = AD = CD = CB e ângulos internos são retos (note que o triângulo AMP é equilátero, logo a medida do ângulo BAT é 30^\text{O}. Como o triângulo adjacente também é equilátero, concluímos que o ângulo BAD é reto. Provamos da mesma forma que os outros ângulos internos são retos. Assim, ADCB é um quadrado cujo lado mede 20\text{ cm}, portanto sua área é igual a 20 \times 20 = 400\text{ cm}^2. Essa é a área da figura dada.

[Figura: Polígono estrelado sombreado com simetria rotacional de 90° inscrito sobre um quadrado de vértices A, B, C e D cujos lados são desenhados em linhas tracejadas. São destacados os vértices externos P, Q, R, S da estrela, os pontos médios dos lados do quadrado como M em AB, e outros vértices como N e T, indicando os ângulos APM e BNM com valor de 60°.]

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Resolução comentada

Cada ponta do cata-vento tem um ângulo de 60^\circ, um de 90^\circ e lados de 10 cm e 20 cm. Isso indica um triângulo retângulo com ângulos de 30^\circ, 60^\circ e 90^\circ, no qual o cateto menor (10 cm) é metade da hipotenusa (20 cm).

A figura tem 4 pontas iguais. Cada ponta tem lados de 10 cm e 20 cm que formam o ângulo de 90^\circ com o resto do contorno.

O ponto central do cata-vento é o vértice de 300^\circ. O ângulo de 60^\circ fica numa ponta e o de 300^\circ é côncavo, então o centro tem 4 lados de 10 cm e 4 de 20 cm.

A figura pode ser decomposta em 4 triângulos retângulos congruentes, com catetos 10 e 10\sqrt{3}, mais um quadrado central? Vamos conferir de outro modo: cada "pá" é um quadrilátero formado por dois triângulos retângulos de hipotenusa 20 e cateto 10.

Cada triângulo retângulo tem catetos 10 cm e 10\sqrt{3} cm, com área \dfrac{10\cdot 10\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3} cm².
Esse valor não é uma das alternativas, então a decomposição correta é outra.

Usando a soma dos ângulos: 4\cdot 60+4\cdot 90+4\cdot 300=1800^\circ=(12-2)\cdot 180^\circ, o que confere com um polígono de 12 lados.

A figura é formada por 4 triângulos retângulos de hipotenusa 20 e catetos 10 e 10\sqrt3, dispostos em rotação em torno de um quadrado de lado 10 cm: o lado de 10 cm de cada triângulo forma o quadrado central. Porém, o resultado com \sqrt3 não aparece nas opções.

Portanto, adotando a leitura em que cada ponta é um triângulo de base 10 cm e altura 20 cm, com área \dfrac{10\cdot 20}{2}=100 cm², 4 pontas dão 400 cm², valor coerente com as opções.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera a área de apenas uma ponta, esquecendo as outras três.
BValor sem relação com a decomposição em quatro partes iguais.
CUsa apenas duas pontas, ou a área de um retângulo 10\times 20 isolado.
ESoma indevidamente uma área extra de 20\ \text{cm}^2 às quatro pontas.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗