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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

A figura a seguir é formada por quatro quadrados. A medida do segmento destacado em vermelho é 2. Qual é a soma das áreas dos quadrados azuis?

Figura formada por quatro quadrados: dois azuis à esquerda e dois brancos à direita. À esquerda, há um quadrado azul grande embaixo e um quadrado azul pequeno apoiado sobre o canto superior direito do quadrado azul grande. À direita, há dois quadrados brancos empilhados, alinhados à esquerda com os lados direitos dos quadrados azuis, com a base do quadrado branco inferior alinhada à base do quadrado azul grande, e o topo do quadrado branco superior alinhado ao topo do quadrado azul pequeno. Um segmento vermelho de medida 2 liga o vértice comum aos dois quadrados azuis, na linha vertical central, ao vértice comum aos dois quadrados brancos, na lateral direita da figura.

  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    10
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Chame de a e b os lados dos quadrados azuis, sendo a>b. A soma das áreas que queremos calcular é a^2+b^2.

Os dois quadrados brancos têm o mesmo lado, pois ocupam a mesma largura da figura. Chamando esse lado de c, podemos comparar a altura total dos dois lados da figura:

a+b=2c\quad\Rightarrow\quad c=\frac{a+b}{2}.

O segmento vermelho é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Seu cateto horizontal mede c, a largura de um quadrado branco. Já o cateto vertical mede a-c, pois suas extremidades estão nas alturas a e c, medidas a partir da base.

Aplicando o teorema de Pitágoras, com a hipotenusa de medida 2:

c^2+(a-c)^2=2^2=4.

Substituindo o valor de c, temos:

\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=4.

Ao desenvolver os quadrados, os termos com ab se cancelam:

\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{4}=4.

Portanto,

\frac{a^2+b^2}{2}=4\quad\Rightarrow\quad a^2+b^2=8.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B pode enganar quem calcula 2^2=4 e não percebe que esse valor é metade da soma das áreas azuis.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConfunde a medida do segmento vermelho com a soma das áreas dos quadrados azuis.
  • BUsa apenas o quadrado do segmento vermelho, que corresponde à metade da soma procurada.
  • CNão satisfaz a relação a^2+b^2=2\cdot 2^2 obtida pelo teorema de Pitágoras.
  • ENão satisfaz a relação a^2+b^2=2\cdot 2^2 obtida pelo teorema de Pitágoras.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗