Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2023

Question

Na figura, ABC é um triângulo equilátero e a circunferência menor é tangente a dois lados do triângulo e ao círculo maior, como indicado. A região rosa é a que está dentro do círculo maior e fora do círculo menor. Qual é a razão entre as áreas destacadas em azul e rosa?

Círculo maior contendo um triângulo equilátero ABC com vértices na circunferência e um círculo menor preenchido em azul, tangente internamente ao círculo maior e aos lados AB e BC do triângulo; a área entre o círculo maior e o círculo menor está preenchida em rosa.

A
4/3
B
4/5
C
4/7
D
2/7
E
2/9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Na figura, ABC é um triângulo equilátero e a circunferência menor é tangente a dois lados do triângulo e ao círculo maior, como indicado. A região rosa é a que está dentro do círculo maior e fora do círculo menor. Qual é a razão entre as áreas destacadas em azul e rosa?

Círculo maior contendo um triângulo equilátero ABC com vértices na circunferência e um círculo menor preenchido em azul, tangente internamente ao círculo maior e aos lados AB e BC do triângulo; a área entre o círculo maior e o círculo menor está preenchida em rosa.

A
4/3
B
4/5
C
4/7
D
2/7
E
2/9

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observamos, em primeiro lugar, que os centros O e O' das duas circunferências tangentes pertencem ao diâmetro (\overline{BP}) da circunferência externa.

[Figura: Circunferência externa com centro O e diâmetro BP. Uma circunferência menor interna, com centro O', é tangente à maior no ponto P. Um triângulo inscrito tem um vértice em B, outro em C e o terceiro na parte superior; seus lados são tangentes à circunferência interna nos pontos Q e R. O segmento O'R é traçado até a base BC, e o ângulo no vértice B entre o diâmetro BP e o lado BC é indicado como 30°.]

Como a circunferência interna é tangente aos lados (\overline{BA}) e (\overline{BC}) do triângulo ABC, seu centro O' pertence à bissetriz do ângulo do vértice B desse triângulo. Por outro lado, o raio (\overline{O'R}) é perpendicular ao lado (\overline{BC}) no ponto de tangência, logo o triângulo O'BR é retângulo e a medida do ângulo \widehat{O'BR} é 30^\circ, como assinalado na figura. Temos, portanto, que o triângulo retângulo O'BR é a metade de um triângulo equilátero e os comprimentos dos seus lados (O'B) e (O'R) são tais que O'B = 2 \cdot O'R.

Vamos chamar de S e r os comprimentos dos raios das circunferências maior e menor, respectivamente; com essa notação, temos que O'B = 2S - r e O'R = r, e

2S - r = 2r. Daí, S = \frac{3r}{2}.

A área do círculo destacado em azul será r^2 \pi e a área na cor rosa será igual à diferença entre as áreas dos dois círculos ou seja: \frac{9}{4}r^2 \pi - r^2 \pi = \frac{5}{4}r^2 \pi.

A razão entre as áreas destacadas em azul e rosa será: \frac{r^2 \pi}{\frac{5}{4}r^2 \pi} = \frac{4}{5}.

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Resolução comentada

O triângulo é equilátero e está inscrito no círculo maior, de raio R e centro O. A bissetriz do ângulo B passa por O e encontra o círculo maior no ponto P diametralmente oposto a B, de modo que BP=2R.

O círculo menor, de raio r, é tangente a AB e a BC. Seu centro I fica então na bissetriz de B, ou seja, no segmento BP. Ele também é tangente internamente ao círculo maior, e o ponto de tangência é P, que está na mesma reta.

A distância de I a P é r, então BI = 2R - r.
O ângulo B mede 60^\circ, logo a bissetriz forma 30^\circ com AB.
A distância de I ao lado AB é BI\cdot\sen 30^\circ=\dfrac{2R-r}{2}, e essa distância é o raio r.
Assim, \dfrac{2R-r}{2}=r, o que dá 2R=3r e r=\dfrac{2R}{3}.

Áreas:

Azul: \pi r^2=\pi\dfrac{4R^2}{9}.
Rosa: \pi R^2-\pi\dfrac{4R^2}{9}=\pi\dfrac{5R^2}{9}.

Razão azul/rosa: \dfrac{4/9}{5/9}=\dfrac45.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ADá uma razão maior que 1, o que é impossível: o círculo azul é menor que a parte rosa.
CNão corresponde a nenhuma relação correta entre r e R; vem de um raio errado.
DResulta de um valor de r menor que 2R/3, sem usar corretamente a condição de tangência.
EResulta de um raio muito pequeno, como r=R/2 mal aplicado; a razão correta é 4/5.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗