Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Como 2048 = 2^{11}, cada um dos quatro números divide 2048, então todos são potências de 2: 2^a, 2^b, 2^c, 2^d, com a+b+c+d = 11 (o produto soma os expoentes).

Agora precisamos de quatro potências de 2 com soma 67. Na base 2, 67 = 64+2+1 (três parcelas). Para chegar a quatro parcelas, é preciso dividir uma delas em duas iguais:

1. Dividir o 64: 32+32+2+1 = 67. Os expoentes são 5+5+1+0 = 11. Serve.
2. Dividir o 2: 64+1+1+1 = 67. Os expoentes somam 6+0+0+0 = 6 \neq 11. Não serve.
3. O 1 não pode ser dividido em inteiros positivos.

Se alguma parcela fosse dividida mais de uma vez, teríamos mais de quatro números. Logo, os números são 32, 32, 2, 1.

A menor soma de três deles é a que deixa de fora o maior número (32):

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ 1+1+1, que vem de 64+1+1+1, conjunto cujo produto é 64, não 2048.
• CNão corresponde a nenhuma soma de três dos números 32, 32, 2, 1 (as somas possíveis são 35, 65 e 66).
• DÉ 67-8, sem relação com o conjunto correto; não é soma de três dos números.
• EValor próximo de 64, mas não é soma de três dos números 32,32,2,1.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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