Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2023

Question

No quadro de aniversariantes da turma da professora Cláudia, há no mínimo 2 e no máximo 6 aniversariantes em cada mês. Há exatamente dois meses com 6 aniversariantes em cada um, e exatamente três meses com 2 aniversariantes em cada um. Dentre as quantidades abaixo, qual pode ser o número de alunos na turma da professora Cláudia?

A
35
B
45
C
60
D
65
E
75

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

No quadro de aniversariantes da turma da professora Cláudia, há no mínimo 2 e no máximo 6 aniversariantes em cada mês. Há exatamente dois meses com 6 aniversariantes em cada um, e exatamente três meses com 2 aniversariantes em cada um. Dentre as quantidades abaixo, qual pode ser o número de alunos na turma da professora Cláudia?

A
35
B
45
C
60
D
65
E
75

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sabemos inicialmente que em cinco dos meses do ano o total de aniversariantes da turma da professora Cláudia é 18, pois em dois desses meses o número de aniversariantes é 6 e em três outros meses esse número é 2; calculando, 2 \times 6 + 3 \times 2 = 18.

Nos restantes sete meses, a cada mês o número de aniversariantes do mês fica entre 3 e 5; logo, o total N de aniversariantes nesse período ficará entre 21 e 35, ou seja, 21 \le N \le 35.

Juntando o resultado das duas afirmações, ou seja, somando 18 a cada um dos termos da desigualdade,

21 + 18 \le N + 18 \le 35 + 18

teremos que o número de aniversariantes da turma da professora Cláudia ficará entre 39 e 53 e, dentre as alternativas, a única possível é N = 45.

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Resolução comentada

São 12 meses. Dois meses têm 6 aniversariantes e três meses têm 2. Sobram 12-2-3=7 meses, cada um com uma quantidade entre 3 e 5 (pois não são 6 nem 2, já que esses valores aparecem exatamente nos meses citados).

Meses com 6: 2\times 6=12.
Meses com 2: 3\times 2=6.
Soma já garantida: 12+6=18.
Os 7 meses restantes: mínimo 7\times 3=21 e máximo 7\times 5=35.

Logo o total T fica entre 18+21=39 e 18+35=53, e todos os valores desse intervalo são possíveis, pois cada mês restante pode variar de 3 a 5.

As alternativas: 35 é menor que 39; 45 está entre 39 e 53; 60, 65 e 75 são maiores que 53.

Verificação para 45: faltam 45-18=27 para os 7 meses, por exemplo seis meses com 4 e um com 3: 24+3=27. Funciona.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

A35 é menor que o mínimo possível, 39.
C60 ultrapassa o máximo possível, 53.
D65 ultrapassa o máximo possível, 53.
E75 ultrapassa o máximo possível, 53 (seria 12 meses com 6, por exemplo, o que contraria o enunciado).

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗