Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2023

Question

Quantos são os números A B C de três algarismos distintos tais que o número A B, de dois algarismos, seja divisor de A B C?

A
1
B
36
C
72
D
80
E
144

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Quantos são os números A B C de três algarismos distintos tais que o número A B, de dois algarismos, seja divisor de A B C?

A
1
B
36
C
72
D
80
E
144

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: A notação A B C é usada para denotar o número A B C = A.10^2 + B.10 + C. É claro que A B C = 10 x A B + C e, assim, (A B C / A B) = 10 + (C/ A B).

Para que A B C / A B seja um número inteiro, C/ A B deve ser inteiro, mas o denominador A B é maior do que o numerador C e a única possibilidade de isso acontecer ocorre quando C = 0. O resultado A B 0 / A B = 10 é inteiro para todo algarismo A diferente de zero e para todo algarismo B. Há, então, 9 possibilidades para A e 8 possibilidades para B, já que C = 0 já foi utilizado e os algarismos A, B e C devem ser todos diferentes. Conclusão: são 9 x 8 = 72 as possibilidades de A B C / A B ser um número inteiro.

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Resolução comentada

Escreva \overline{ABC} = 10\cdot\overline{AB} + C. Se \overline{AB} divide \overline{ABC}, como já divide 10\cdot\overline{AB}, então ele também divide a diferença, que é C.

Agora, \overline{AB} tem dois algarismos, logo \overline{AB}\ge 10, e C é um algarismo, logo C\le 9. Um número maior que C só divide C se C=0. Portanto C=0.

Contagem, lembrando que os algarismos devem ser distintos:

C=0 está fixo.
A não pode ser 0 (nem igual a C): sobram 9 opções, de 1 a 9.
B não pode ser 0 (igual a C) nem igual a A: sobram 8 opções.

Total: 9\cdot 8 = 72 números, como 120, 130, 210 etc. Todos servem, pois \overline{AB} divide \overline{AB}\cdot 10.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só um caso, sem perceber que C=0 vale para todos os pares A, B distintos.
BNão corresponde à contagem correta; 36 seria 72/2, o que ocorreria se A e B fossem contados sem ordem.
DNão corresponde à contagem; 80 não é 9\cdot 8 e não sai de nenhuma contagem correta.
EDobra o resultado, como se C pudesse assumir mais de um valor, mas só C=0 funciona.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 11 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗