Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2022

Question

círculos vazios da figura, de modo que a soma dos quatro números escritos ficou igual à soma dos três números ligados pela linha vertical e igual à soma dos três números ligados pela linha horizontal. Qual é a soma dos quatro números que Priscila escreveu?

Cinco círculos dispostos em cruz: no centro, um círculo com o número 2020, ligado por linha contínua vertical a dois círculos vazios (acima e abaixo) e por linha pontilhada horizontal a dois círculos vazios (à esquerda e à direita); os quatro círculos externos são ligados entre si por segmentos tracejados formando um losango.

A
2020
B
3030
C
4040
D
5050
E
6060

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

círculos vazios da figura, de modo que a soma dos quatro números escritos ficou igual à soma dos três números ligados pela linha vertical e igual à soma dos três números ligados pela linha horizontal. Qual é a soma dos quatro números que Priscila escreveu?

Cinco círculos dispostos em cruz: no centro, um círculo com o número 2020, ligado por linha contínua vertical a dois círculos vazios (acima e abaixo) e por linha pontilhada horizontal a dois círculos vazios (à esquerda e à direita); os quatro círculos externos são ligados entre si por segmentos tracejados formando um losango.

A
2020
B
3030
C
4040
D
5050
E
6060

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Como a soma dos números dos 4 círculos brancos será igual à soma dos números dos círculos ligados pela linha horizontal, segue que a soma dos números dos círculos brancos ligados pela linha vertical será 2020. De modo semelhante, a soma dos números dos círculos brancos ligados pela linha horizontal será 2020. Assim, a soma total dos números escritos por Priscila nos 4 círculos é 2020 + 2020 = 4040.

Outra solução, utilizando-se rudimentos de álgebra:

a + b + c + d = a + 2020 + c, logo, b + d = 2020

a + b + c + d = b + 2020 + d, logo, a + c = 2020

Assim, a + b + c + d = 2020 + 2020 = 4040.

[Figura: Quatro círculos com as letras a (topo), b (direita), c (embaixo) e d (esquerda) formam os vértices de um losango conectados por linhas tracejadas. No centro, há um círculo com contorno cinza contendo o número 2020, ligado aos círculos a e c por uma linha vertical sólida e aos círculos d e b por uma linha horizontal pontilhada.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Chame os números dos círculos de cima, baixo, esquerda e direita de a, b, c e d. O círculo central vale 2020.

O enunciado diz que três somas são iguais:

soma dos quatro números escritos: a+b+c+d;
soma da linha vertical: a+2020+b;
soma da linha horizontal: c+2020+d.

Passos:

Chame de S o valor comum dessas somas. Então a+b+2020=S e c+d+2020=S.
Daí, a+b=S-2020 e c+d=S-2020.
A soma dos quatro números é S=(a+b)+(c+d), ou seja, S=2(S-2020).
Resolvendo: S=2S-4040, logo S=4040.

Conferindo: a+b=2020 e c+d=2020. A soma dos quatro é 4040, e cada linha soma 2020+2020=4040. Tudo bate.

A soma dos quatro números que Priscila escreveu é 4040.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ADá só o valor do número central, ou de a+b, sem somar os dois pares.
BValor sem relação com as equações; não satisfaz S=2(S-2020).
DValor sem relação com as equações; não satisfaz S=2(S-2020).
EValor sem relação com as equações; não satisfaz S=2(S-2020).

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova

Questão 18 no caderno Nível 1 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗