Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

Priscila escreveu um número em cada um dos círculos vazios da figura, de modo que a soma dos quatro números escritos ficou igual à soma dos três números ligados pela linha vertical e igual à soma dos três números ligados pela linha horizontal. Qual é a soma dos quatro números que Priscila escreveu?

A
2020
B
3030
C
4040
D
5050
E
6060

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Priscila escreveu um número em cada um dos círculos vazios da figura, de modo que a soma dos quatro números escritos ficou igual à soma dos três números ligados pela linha vertical e igual à soma dos três números ligados pela linha horizontal. Qual é a soma dos quatro números que Priscila escreveu?

A
2020
B
3030
C
4040
D
5050
E
6060

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Como a soma dos números dos 4 círculos brancos será igual à soma dos números dos círculos ligados pela linha horizontal, segue que a soma dos números dos círculos brancos ligados pela linha vertical será 2020. De modo semelhante, a soma dos números dos círculos brancos ligados pela linha horizontal será 2020. Assim, a soma total dos números escritos por Priscila nos 4 círculos é 2020 + 2020 = 4040.

Outra solução, utilizando-se rudimentos de álgebra:

a + b + c + d = a + 2020 + c, logo, b + d = 2020

a + b + c + d = b + 2020 + d, logo, a + b = 2020

Assim, a + b + c + d = 2020 + 2020 = 4040.

[Figura: Diagrama com quatro círculos brancos dispostos nos vértices de um losango com as letras a no topo, b à direita, c embaixo e d à esquerda, conectados por linhas tracejadas. No centro, há um círculo com o número 2020 conectado verticalmente aos círculos a e c por linhas contínuas, e horizontalmente aos círculos d e b por linhas pontilhadas.]

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Resolução comentada

Chame de a (cima), b (baixo), c (esquerda) e d (direita) os números escritos, e seja S a soma pedida.

O enunciado diz que três somas são iguais:

soma dos quatro números: a+b+c+d = S;
linha vertical: a + 2020 + b = S;
linha horizontal: c + 2020 + d = S.

Somando as equações 2 e 3, os termos ficam agrupados assim:

(a+b+c+d) + 2\cdot 2020 = 2S

Como a+b+c+d = S, substituímos:

S + 4040 = 2S

S = 4040

Verificando: se a+b = 2020 e c+d = 2020, então a+b+c+d = 4040. Além disso, a linha vertical dá 2020 + 2020 = 4040, o que confere com S.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsse é o valor do número central, não da soma dos quatro números.
BNão resulta de nenhuma combinação correta das equações.
DNão resulta de nenhuma combinação correta das equações.
ECorresponde a 3\cdot 2020, valor que não decorre das equações.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗