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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Ivan e Luciana, nascidos antes de 2000, travaram o seguinte diálogo em 2019, depois de seus aniversários:
— Luciana, veja que coincidência! Minha idade agora é igual ao número formado pelos dois últimos algarismos de seu ano de nascimento.
— Nossa, Ivan! O mesmo acontece comigo: minha idade é também igual ao número formado pelos dois últimos algarismos de seu ano de nascimento!

Com base nestas informações podemos concluir que

  1. A
    o mesmo fato ocorrerá com eles em 2020.
  2. B
    a diferença de idade entre Ivan e Luciana é de 19 anos.
  3. C
    a soma das idades completadas por Ivan e Luciana em 2019 é 119 anos.
  4. D
    Ivan completou 70 anos em 2019.
  5. E
    Luciana completou 45 anos em 2019.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Seja a a idade de Ivan e b a de Luciana em 2019. Ivan nasceu em 2019-a e Luciana em 2019-b, ambos antes de 2000, ou seja, em 19xx.

O ano de nascimento de Ivan é 1900+(100-?). Vamos montar as equações:

  1. A idade de Ivan é igual aos dois últimos algarismos do ano de Luciana: a = (2019-b)-1900 = 119-b.
  2. A idade de Luciana é igual aos dois últimos algarismos do ano de Ivan: b = (2019-a)-1900 = 119-a.

As duas equações dizem a mesma coisa: a+b=119.

Assim, a soma das idades em 2019 é 119 anos, o que confere com a alternativa C.

Verificando as outras: as idades não ficam determinadas (por exemplo, a=60, b=59 ou a=70, b=49 servem), então não dá para afirmar a diferença de idade, nem que Ivan fez 70 ou Luciana 45. Em 2020, ambos teriam um ano a mais, e a soma passaria a 121, mas os dois últimos algarismos dos anos de nascimento não mudam, então a soma das idades seria 121\neq 119 e o fato não se repete.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEm 2020 as idades aumentam 1 ano cada e a soma passa a 121, então a relação deixa de valer.
  • BA diferença de idade não é determinada; só a soma a+b=119 é fixada.
  • DIvan ter 70 anos é apenas uma possibilidade, não uma conclusão necessária.
  • ELuciana ter 45 anos é apenas uma possibilidade (e daria a=74), não é obrigatória.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗