Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 \times 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90^\circ. Quantos tabuleiros 5 \times 5 formados por quadrados pretos ou brancos não se alteram quando girados de 90^\circ?

Tabuleiro 5 por 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Os quadrados pretos estão nas posições (linha, coluna), de cima para baixo e da esquerda para a direita: (1, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3) e (5, 4); todos os demais quadrados são brancos.

A
25
B
30
C
64
D
128
E
192

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 \times 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90^\circ. Quantos tabuleiros 5 \times 5 formados por quadrados pretos ou brancos não se alteram quando girados de 90^\circ?

Tabuleiro 5 por 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Os quadrados pretos estão nas posições (linha, coluna), de cima para baixo e da esquerda para a direita: (1, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3) e (5, 4); todos os demais quadrados são brancos.

A
25
B
30
C
64
D
128
E
192

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O mosaico da figura do enunciado pode ser obtido girando-se, em torno do ladrilho central, o bloco 2 \times 3 formado pelos primeiros três ladrilhos das duas primeiras linhas, mais o ladrilho central.

[Figura: Quatro tabuleiros 5 \times 5 ilustrando a rotação sucessiva de 90^\circ em torno do ladrilho central de um bloco de 2 \times 3 ladrilhos e do ladrilho central.]

Na verdade, qualquer mosaico de ladrilhos pretos e brancos que apresenta simetria rotacional de 90^\circ tem essa propriedade, ou seja, é obtido a partir de sete ladrilhos: seis do bloco 2 \times 3 formado pelos três primeiros ladrilhos das duas primeiras linhas e mais o ladrilho central.

Como cada ladrilho pode ser preto ou branco, temos 2^7 = 128 maneiras distintas de escolher sete ladrilhos para obter um mosaico 5 \times 5 que apresenta simetria rotacional de 90^\circ.

Logo, a quantidade de mosaicos 5 \times 5 que apresentam simetria rotacional de 90^\circ é igual a 2^7 = 128. Observe que, dentre essas possibilidades, aparecem o tabuleiro todo branco e o tabuleiro todo preto: eles também têm simetria rotacional de 90^\circ.

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Resolução comentada

Girar o tabuleiro de 90^\circ leva cada casa para outra casa. Para o tabuleiro não mudar, as casas que se trocam entre si numa rotação precisam ter a mesma cor.

Vamos separar as 25 casas em grupos pela rotação de 90^\circ:

A casa central fica fixa: forma 1 grupo sozinho.
Qualquer outra casa percorre 4 posições ao ser girada sucessivamente, e as 4 devem ter a mesma cor. Sobram 25-1=24 casas, que formam 24\div 4=6 grupos de 4 casas.

Total: 1+6=7 grupos. Cada grupo é pintado inteiro de preto ou de branco, com 2 escolhas por grupo.

2^7=128

Confira com a figura: a casa (1,2) vai para (2,5), depois (5,4) e (4,1). Essas quatro casas são todas pretas, como esperado.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem conta apenas os 6 grupos de 4 casas e esquece a casa central, que também tem 2 cores.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde o número de casas (25) com o de tabuleiros, sem contar as escolhas de cor por grupo.
BNão corresponde a nenhuma contagem válida de grupos; não é potência de 2.
CCorresponde a 2^6, esquecendo a casa central, que também pode ser preta ou branca.
EValor 192=3\cdot 2^6 sem sentido, pois cada grupo só tem 2 cores possíveis.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Transformações geométricas e localização.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗