Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

Cinco jogadores disputam um torneio de tênis de mesa de modo que cada jogador enfrenta todos os outros exatamente uma vez. Nessas partidas não há empates. Em cada partida, os dois jogadores têm a mesma probabilidade de ganhar, e o resultado de uma partida não influencia o resultado das demais. Qual é a probabilidade de que algum jogador vença todas as suas partidas?

Ilustração de dois jovens jogando tênis de mesa

A
1/4
B
5/8
C
5/16
D
5/32
E
5/64

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Cinco jogadores disputam um torneio de tênis de mesa de modo que cada jogador enfrenta todos os outros exatamente uma vez. Nessas partidas não há empates. Em cada partida, os dois jogadores têm a mesma probabilidade de ganhar, e o resultado de uma partida não influencia o resultado das demais. Qual é a probabilidade de que algum jogador vença todas as suas partidas?

Ilustração de dois jovens jogando tênis de mesa

A
1/4
B
5/8
C
5/16
D
5/32
E
5/64

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Considere os eventos:

A: o jogador 1 vence todas as partidas
B: o jogador 2 vence todas as partidas
C: o jogador 3 vence todas as partidas
D: o jogador 4 vence todas as partidas
E: o jogador 5 vence todas as partidas

Os eventos descritos acima são mutuamente exclusivos, isto é, não há intersecção, já que, se o jogador 1 vencer todas as partidas, os outros já perderam a partida com esse jogador. Ainda, como as partidas são independentes,

P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = P(E) = (1/2)^4 = (1/16)

Assim, a probabilidade solicitada é P(A \text{ ou } B \text{ ou } C \text{ ou } D \text{ ou } E) = P(A \text{ e } B \text{ e } C \text{ e } D \text{ e } E)? Não, é P(A \cup B \cup C \cup D \cup E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E) = (5/16)

Outra solução:

Considere os jogadores A, B, C, D e E. Teremos 10 jogos, a saber

A \times B, A \times C, A \times D, A \times E, B \times C, B \times D, B \times E, C \times D, C \times E e D \times E .

O espaço amostral terá 2^{10} resultados possíveis e todos os resultados são equiprováveis, já que os jogadores têm a mesma chance de vencer.

Observe que, se um jogador vencer todos os seus jogos (digamos o jogador A), nenhum outro jogador poderá fazer o mesmo (pois A ganhou dele). O número de casos possíveis para que o jogador A vença suas 4 partidas será 2^6, pois não importa o resultado das partidas realizadas entre si pelos outros jogadores. A mesma quantidade, 2^6, vale para todos os outros jogadores.

Logo, a probabilidade solicitada é \frac{2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6}{2^{10}} = \frac{5}{16}.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada jogador disputa 4 partidas (uma contra cada um dos outros 4). Como cada partida tem probabilidade 1/2 para cada lado e os resultados são independentes, a probabilidade de um jogador específico vencer as 4 é:

\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}

Agora, queremos a probabilidade de algum jogador vencer todas. Precisamos saber se os eventos "o jogador i vence todas" podem acontecer ao mesmo tempo. Não podem: se o jogador A vence todas, ele venceu B, então B perdeu pelo menos uma partida e não pode ter vencido todas. Os eventos são, portanto, mutuamente excludentes, e podemos somar as probabilidades.

Probabilidade de cada jogador vencer tudo: \dfrac{1}{16}.
Eventos disjuntos, com 5 jogadores: 5\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{5}{16}.

Conferindo por contagem: há \binom{5}{2}=10 partidas, logo 2^{10}=1024 resultados possíveis. Para um jogador vencer todas, suas 4 partidas estão fixas e as outras 6 são livres: 2^6=64 casos. Para 5 jogadores: 5\cdot 64=320. Então \dfrac{320}{1024}=\dfrac{5}{16}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhum cálculo correto; a soma das probabilidades dos 5 jogadores dá 5/16, não 1/4.
BUsa 1/2 por jogador, esquecendo que ele precisa vencer 4 partidas seguidas.
DUsa (1/2)^5 em vez de (1/2)^4 para cada jogador, esquecendo que cada um joga só 4 partidas.
EDivide por 2^6 ou usa potência errada, subestimando a probabilidade.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗