Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

Os nove pontos da figura estão igualmente espaçados na circunferência. Maria quer pintar alguns desses pontos de tal forma que não exista triângulo equilátero cujos vértices estejam todos pintados. Qual é o maior número de pontos que ela pode pintar?

Circunferência com nove pequenos círculos brancos igualmente espaçados ao longo de sua borda, representando os nove pontos.

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Os nove pontos da figura estão igualmente espaçados na circunferência. Maria quer pintar alguns desses pontos de tal forma que não exista triângulo equilátero cujos vértices estejam todos pintados. Qual é o maior número de pontos que ela pode pintar?

Circunferência com nove pequenos círculos brancos igualmente espaçados ao longo de sua borda, representando os nove pontos.

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: É possível inscrever três, e apenas três, triângulos equiláteros em um eneágono regular (polígono de nove lados cujos vértices estão igualmente espaçados em uma circunferência), como mostra a figura:

[Figura: Circunferência com nove vértices igualmente espaçados rotulados de A a I no sentido horário a partir de A na base inferior esquerda, contendo três triângulos equiláteros inscritos: ADG, BEH e CFI.]

Se pintarmos sete vértices do eneágono, necessariamente um dos triângulos terá os três vértices da mesma cor, pois, se cada triângulo equilátero tiver, no máximo, dois vértices pintados, o total de vértices pintados no eneágono será, no máximo, seis.

Note que podemos pintar seis vértices do eneágono de tal forma que nenhum triângulo tenha os três vértices da mesma cor; por exemplo, pintando A, D, C, F, E e H.

Assim, o maior número de pontos que podem ser pintados de tal forma que não exista um triângulo equilátero cujos vértices estejam todos pintados é 6.

[Figura: Circunferência com os vértices de A a I, na qual os pontos A, C, D, E, F e H aparecem preenchidos em cinza-escuro e os pontos B, G e I aparecem vazios.]

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Resolução comentada

Numere os pontos de 0 a 8. Um triângulo equilátero com vértices nesses pontos tem os vértices separados por \frac{360^\circ}{3}=120^\circ, ou seja, por 3 posições. Os únicos triângulos equiláteros possíveis são:

\{0,3,6\},\ \{1,4,7\},\ \{2,5,8\}

São 3 triângulos, sem pontos em comum, e juntos usam os 9 pontos.

Para que nenhum deles fique todo pintado, cada triângulo precisa ter pelo menos um ponto sem pintar.

Como os triângulos não compartilham pontos, são necessários pelo menos 3 pontos sem pintar (um em cada triângulo).
Logo, Maria pinta no máximo 9-3=6 pontos.
Isso é possível: deixe sem pintar os pontos 0, 1 e 2 e pinte os outros seis. Cada triângulo tem um vértice sem pintar.

Portanto o máximo é 6.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANúmero menor que o máximo; com 4 pontos pintados ainda dá para pintar mais 2 sem formar triângulo.
BTambém é possível pintar mais, pois só é preciso deixar 1 ponto livre em cada um dos 3 triângulos.
DCom 7 pintados sobrariam só 2 sem pintar, e um dos três triângulos disjuntos ficaria todo pintado.
ECom 8 pintados sobraria 1 ponto livre, e dois triângulos ficariam totalmente pintados.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 14 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗