Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2022

Question

Miguel saiu de casa, foi para a escola, voltou para o clube, foi para o cinema e voltou para casa, andando sempre pela rua representada na figura. Neste caminho existem duas árvores e a distância entre elas é de 900\ \text{m}. Uma das árvores está na metade do caminho entre a casa e o clube e a outra árvore está na metade do caminho entre a escola e o cinema. Quantos metros Miguel andou?

Ilustração de uma rua em linha reta com marcações para: Casa, uma árvore, Clube, Escola, outra árvore e Cinema.

A
900
B
1800
C
2700
D
3600
E
4500

Answer 1

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Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Razão e proporção

Miguel saiu de casa, foi para a escola, voltou para o clube, foi para o cinema e voltou para casa, andando sempre pela rua representada na figura. Neste caminho existem duas árvores e a distância entre elas é de 900\ \text{m}. Uma das árvores está na metade do caminho entre a casa e o clube e a outra árvore está na metade do caminho entre a escola e o cinema. Quantos metros Miguel andou?

Ilustração de uma rua em linha reta com marcações para: Casa, uma árvore, Clube, Escola, outra árvore e Cinema.

A
900
B
1800
C
2700
D
3600
E
4500

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: O caminho percorrido por Miguel está indicado em azul na figura abaixo (\text{AD} + \text{DC} + \text{CF} + \text{FA}). Como \text{AB} = \text{BC}, pois B é ponto médio de AC, e \text{DE} = \text{EF}, pois E é ponto médio de DF, então, o caminho percorrido por Miguel mede

\begin{aligned} \text{AD} + \text{DC} + \text{CF} + \text{FA} &= (\text{AB} + \text{BC} + \text{CD}) + \text{DC} + (\text{CD} + \text{DE} + \text{EF}) + (\text{FE} + \text{ED} + \text{DC} + \text{CB} + \text{BA}) = \\ &= (\text{BC} + \text{BC} + \text{CD}) + \text{DC} + (\text{CD} + \text{DE} + \text{ED}) + (\text{DE} + \text{ED} + \text{DC} + \text{CB} + \text{BC}) = \\ &= 4 \times \text{BC} + 4 \times \text{CD} + 4 \times \text{DE} = 4 \times (\text{BC} + \text{CD} + \text{DE}) = 4 \times \text{BE} = 4 \times 900 = 3600\text{ m}. \end{aligned}

[Figura: Ilustração com uma estrada horizontal e seis pontos alinhados, identificados de A a F. Acima dos pontos há desenhos: em A, uma casa; em B, uma árvore; em C, um prédio com a fachada "CLUBE"; em D, um prédio com a fachada "ESCOLA"; em E, uma árvore; em F, um prédio com a fachada "CINEMA". Acima das árvores em B e E, uma linha com setas nas duas extremidades indica a distância de 900 entre as posições B e E. Abaixo da estrada e das letras indicativas dos pontos, quatro setas horizontais indicam o trajeto: a primeira vai de A até D (para a direita), a segunda vai de D até C (para a esquerda), a terceira vai de C até F (para a direita) e a quarta vai de F até A (para a esquerda).]

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Resolução comentada

Coloque os pontos numa reta, da esquerda para a direita: Casa (C), Clube (L), Escola (E) e Cinema (N). As árvores ficam nos pontos médios dos segmentos CL e EN. O trajeto de Miguel é: Casa → Escola → Clube → Cinema → Casa.

Chame de a, b e c as distâncias CL, LE e EN. A distância entre as árvores é a distância entre os dois pontos médios:

\frac{a}{2} + b + \frac{c}{2} = 900

Multiplicando por 2:

a + 2b + c = 1800

Agora some os trechos percorridos:

Casa → Escola: a + b
Escola → Clube: b
Clube → Cinema: b + c
Cinema → Casa: a + b + c

Total:

(a+b) + b + (b+c) + (a+b+c) = 2a + 4b + 2c = 2(a + 2b + c)

Como a + 2b + c = 1800, o total é 2 \cdot 1800 = 3600\ \text{m}.

A ideia é que o percurso total é o dobro de a+2b+c, que por sua vez é o dobro da distância entre as árvores: 4 \cdot 900 = 3600.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa apenas a distância entre as árvores, sem considerar o trajeto completo.
BCalcula apenas a+2b+c, o dobro da distância entre as árvores, esquecendo que o total é o dobro disso.
CNão corresponde a nenhuma combinação correta dos trechos; o fator correto é 4, não 3.
EUsa um fator 5 sem base no percurso; superestima o total.

Assunto: Razão e proporção.

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Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗