Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2022

Question

Miguel saiu de casa, foi para a escola, voltou para o clube, foi para o cinema e voltou para casa, andando sempre pela rua representada na figura. Neste caminho existem duas árvores e a distância entre elas é de 900\ \text{m}. Uma das árvores está na metade do caminho entre a casa e o clube e a outra árvore está na metade do caminho entre a escola e o cinema. Quantos metros Miguel andou?

Rua horizontal com pontos demarcados da esquerda para a direita: Casa, uma árvore, Clube, Escola, uma segunda árvore e Cinema.

A
900
B
1800
C
2700
D
3600
E
4500

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Razão e proporção

Miguel saiu de casa, foi para a escola, voltou para o clube, foi para o cinema e voltou para casa, andando sempre pela rua representada na figura. Neste caminho existem duas árvores e a distância entre elas é de 900\ \text{m}. Uma das árvores está na metade do caminho entre a casa e o clube e a outra árvore está na metade do caminho entre a escola e o cinema. Quantos metros Miguel andou?

Rua horizontal com pontos demarcados da esquerda para a direita: Casa, uma árvore, Clube, Escola, uma segunda árvore e Cinema.

A
900
B
1800
C
2700
D
3600
E
4500

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O caminho percorrido por Miguel está indicado em azul na figura abaixo (\text{AD} + \text{DC} + \text{CF} + \text{FA}). Como \text{AB} = \text{BC}, pois B é ponto médio de AC, e \text{DE} = \text{EF}, pois E é ponto médio de DF, então, o caminho percorrido por Miguel mede \text{AD} + \text{DC} + \text{CF} + \text{FA} = (\text{AB} + \text{BC} + \text{CD}) + \text{DC} + (\text{CD} + \text{DE} + \text{EF}) + (\text{FE} + \text{ED} + \text{DC} + \text{CB} + \text{BA}) = (\text{BC} + \text{BC} + \text{CD}) + \text{DC} + (\text{CD} + \text{DE} + \text{ED}) + (\text{DE} + \text{ED} + \text{DC} + \text{CB} + \text{BC}) = 4 \times \text{BC} + 4 \times \text{CD} + 4 \times \text{DE} = 4 \times (\text{BC} + \text{CD} + \text{DE}) = 4 \times \text{BE} = 4 \times 900 = 3600\text{ m}.

[Figura: Reta horizontal representando uma rua com seis pontos marcados de A a F: A (casa), B (árvore), C (clube), D (escola), E (árvore) e F (cinema). Acima da rua, uma flecha bidirecional entre B e E indica a distância de 900. Abaixo da rua, quatro flechas horizontais indicam o trajeto: de A até D para a direita, de D até C para a esquerda, de C até F para a direita e de F até A para a esquerda.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Na figura, a ordem na rua é: Casa, árvore 1, Clube, Escola, árvore 2, Cinema.

Chame de a a distância Casa–Clube, b a distância Clube–Escola e c a distância Escola–Cinema.

A árvore 1 está no meio entre Casa e Clube, então fica a \frac{a}{2} do Clube. A árvore 2 está no meio entre Escola e Cinema, então fica a \frac{c}{2} da Escola.

A distância entre as árvores é:

\frac{a}{2} + b + \frac{c}{2} = 900

Multiplicando tudo por 2:

a + 2b + c = 1800

Agora o trajeto de Miguel: Casa → Escola, Escola → Clube, Clube → Cinema, Cinema → Casa.

Casa → Escola: a + b
Escola → Clube: b
Clube → Cinema: b + c
Cinema → Casa: a + b + c

Somando:

(a+b) + b + (b+c) + (a+b+c) = 2a + 4b + 2c = 2(a + 2b + c)

Como a + 2b + c = 1800, o total é 2 \cdot 1800 = 3600\ \text{m}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana: 1800 aparece no meio da conta (a+2b+c), mas o trajeto de Miguel é o dobro disso.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa só a distância entre as árvores, sem considerar o percurso completo.
BPara em a+2b+c=1800 e esquece de dobrar o total do trajeto.
CNão corresponde a nenhuma combinação correta; erro ao somar os trechos do trajeto.
EMultiplica 900 por 5, sem base na soma dos trechos percorridos.

Assunto: Razão e proporção.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2022 · Questão 14 (Nível 2)Miguel saiu de casa, foi para a escola, voltou para o clube, foi para o cinema e voltou para casa, andando sempre pela rua representada na figura…

Ver como caiu na prova

Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗