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Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Uma formiguinha passeia em uma malha formada por triângulos equiláteros de lado 1 cm, como na figura. Ela parte do ponto P para o ponto Q, e sempre que encontra um vértice da malha, muda de direção, fazendo um giro de 60^\circ. Ela repete sempre dois giros para a direita e um para a esquerda, percorrendo o caminho vermelho da figura. Em qual ponto da malha a formiguinha vai estar após percorrer 1000 cm?

Malha triangular composta por triângulos equiláteros contendo os pontos A, B, C, D, E, P e Q. Um trajeto em linha vermelha parte de P para Q e segue alternando giros de 60 graus indicados por setas verdes, passando pelo ponto D.

  1. A
    A
  2. B
    B
  3. C
    C
  4. D
    D
  5. E
    E
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Chame de segmento cada trecho de 1 cm. Os giros se repetem na ordem direita, direita, esquerda, e isso gera um padrão nas direções.

Medindo os ângulos a partir do leste, com giro à direita valendo -60^\circ e à esquerda +60^\circ, os segmentos têm direções 0^\circ,-60^\circ,-120^\circ,-60^\circ,-120^\circ,-180^\circ,-120^\circ,\dots Isso bate com a figura: leste, sudeste, sudoeste, sudeste, sudoeste, oeste, sudoeste, oeste...

  1. Cada bloco de 3 segmentos tem direções \theta,\theta-60^\circ,\theta-120^\circ, e o bloco seguinte começa com \theta-60^\circ.
  2. O deslocamento de um bloco tem módulo 2 cm. Para o primeiro bloco, a soma dos vetores é 1+(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2})+(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2})=(1,-\sqrt3), que tem módulo 2 e direção -60^\circ.
  3. Cada bloco gira 60^\circ em relação ao anterior. Portanto, 6 blocos seguidos formam um hexágono regular e voltam ao ponto de partida do grupo.
  4. Em 1000 cm há 333 blocos completos mais 1 segmento. Como 333=6\cdot55+3, os 330 primeiros blocos se cancelam. Restam 3 blocos, com direções iniciais 0^\circ, -60^\circ e -120^\circ (os blocos k=0,1,2).
  5. Esses 3 blocos dão deslocamento total 2(e^{-i60^\circ}+e^{-i120^\circ}+e^{-i180^\circ}), ou seja, (-2,-2\sqrt3).
  6. O segmento 1000 é o primeiro do bloco seguinte, com direção -180^\circ, isto é, 1 cm para oeste: (-1,0).

Deslocamento total a partir de P: (-3,-2\sqrt3), ou seja, 3 cm para a esquerda e 2\sqrt3 cm para baixo. A altura de cada fileira da malha é \tfrac{\sqrt3}{2}, então isso são 4 fileiras abaixo.

Na figura, 4 fileiras abaixo de P é a fileira de D e E, e 3 unidades à esquerda de P nessa fileira cai em E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA está na mesma fileira de P, mas o deslocamento vertical é de 4 fileiras para baixo, não zero.
  • BB fica só 2 fileiras abaixo de P, e a conta dá 4 fileiras.
  • CC fica 2 fileiras abaixo de P, e não 4.
  • DD está na fileira certa, mas só 1 cm à esquerda de P na horizontal; o deslocamento correto é 3 cm.

Assunto: Sequências e padrões.

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Ver como caiu na prova Questão 13 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗