Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2022

Question

40 cm e 50 cm em cima de uma folha branca de lados 70 cm e 80 cm, como indicado na figura. Em seguida ela dobrou a folha branca em cima da cinzenta pelas linhas pontilhadas. Qual é a área da parte cinzenta que não ficou coberta?

Folha retangular branca com dimensões de 70 cm de largura por 80 cm de altura contendo um retângulo cinzento de 40 cm por 50 cm. O retângulo cinzento está posicionado a 12 cm da borda superior e a 14 cm da borda esquerda da folha branca. Linhas pontilhadas estendem os lados do retângulo cinzento até as extremidades da folha branca.

A
100\ \text{cm}^2
B
200\ \text{cm}^2
C
300\ \text{cm}^2
D
400\ \text{cm}^2
E
500\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

40 cm e 50 cm em cima de uma folha branca de lados 70 cm e 80 cm, como indicado na figura. Em seguida ela dobrou a folha branca em cima da cinzenta pelas linhas pontilhadas. Qual é a área da parte cinzenta que não ficou coberta?

Folha retangular branca com dimensões de 70 cm de largura por 80 cm de altura contendo um retângulo cinzento de 40 cm por 50 cm. O retângulo cinzento está posicionado a 12 cm da borda superior e a 14 cm da borda esquerda da folha branca. Linhas pontilhadas estendem os lados do retângulo cinzento até as extremidades da folha branca.

A
100\ \text{cm}^2
B
200\ \text{cm}^2
C
300\ \text{cm}^2
D
400\ \text{cm}^2
E
500\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observemos a figura ao lado.

[Figura: Desenho de uma folha retangular branca maior de 70 cm de largura por 80 cm de altura, contendo internamente uma folha cinza de 40 cm de largura por 50 cm de altura. Linhas pontilhadas e segmentos destacam as margens de 14 cm à esquerda e 12 cm no topo da folha cinza em relação à folha branca.]

Como os lados da folha menor são paralelos aos lados da folha maior, a soma dos comprimentos dos segmentos azuis é igual à diferença entre os comprimentos dos lados horizontais da folha branca e da folha cinza, ou seja, é igual a 70 - 40 = 30\text{ cm}; analogamente, a soma dos comprimentos dos segmentos vermelhos é igual a 80 - 50 = 30\text{ cm}. Desse modo, ao dobrarmos a folha branca pelas linhas pontilhadas, obteremos a figura abaixo, em que o retângulo cinza tem dimensões horizontal 40 - 30 = 10\text{ cm} e vertical 50 - 30 = 20\text{ cm}; sua área é, então, 200\text{ cm}^2.

[Figura: Esquema da folha dobrada sobre a folha cinza ao longo das linhas pontilhadas, deixando visível uma região retangular cinza central com dimensões indicadas por chaves: horizontal 40 - 14 - 16 = 10\text{ cm} e vertical 50 - 12 - 18 = 20\text{ cm}.]

Observe que a posição da folha cinza sobre a branca não é importante, desde que as margens vertical e horizontal das folhas mantenham-se respectivamente paralelas, ou seja, as distâncias 12 cm e 14 cm não são relevantes; de fato, mudando-as, a área da região cinza não coberta, após a dobra, continua a mesma.

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Resolução comentada

A folha branca mede 70 cm de largura por 80 cm de altura, e o retângulo cinzento mede 40 cm (largura) por 50 cm (altura). As linhas pontilhadas prolongam os lados do cinzento, e a folha é dobrada sobre elas.

Primeiro, ache as sobras de cada lado:

Horizontal: à esquerda sobram 14 cm. À direita sobram 70 - 14 - 40 = 16 cm.
Vertical: em cima sobram 12 cm. Embaixo sobram 80 - 12 - 50 = 18 cm.

Ao dobrar as abas pelas pontilhadas, cada aba passa a cobrir o cinzento. As abas laterais (14 cm e 16 cm) cobrem faixas de largura 14 e 16 cm, e as abas de cima e de baixo (12 cm e 18 cm) cobrem faixas de altura 12 e 18 cm.

A parte descoberta é um retângulo, pois as faixas laterais cobrem 14 + 16 = 30 cm da largura de 40 cm, e as faixas verticais cobrem 12 + 18 = 30 cm da altura de 50 cm. Como as abas cabem sem se sobrepor nessas direções, sobram:

Largura descoberta: 40 - 14 - 16 = 10 cm.
Altura descoberta: 50 - 12 - 18 = 20 cm.

Área descoberta:

10 \times 20 = 200\ \text{cm}^2

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AErra a conta das sobras ou das dimensões descobertas, chegando a uma área menor que 10\times 20.
CNão corresponde a 10\times 20; vem de erro nas medidas descobertas.
DNão corresponde a 10\times 20; ignora parte das abas dobradas.
ENão corresponde a 10\times 20; desconsidera as dobras de um dos lados.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 13 no caderno Nível 1 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗