Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2019

Resolução comentada

Chame de P o ponto onde AN cruza DM, de Q onde BN cruza DM e de R onde BN cruza AM. As regiões são d (triângulo ADP), b (quadrilátero APQR), c (triângulo QRM), a (triângulo ABR) e x (triângulo PNQ).

O conceito é que um triângulo com base num lado do paralelogramo e o vértice oposto no lado paralelo a essa base tem metade da área do paralelogramo.

1. O triângulo ABN tem base AB, e N está em CD, paralelo a AB. Logo, sua altura é a do paralelogramo e sua área é metade da dele.
2. O triângulo ADM tem base AD, e M está em BC, paralelo a AD. Logo, sua área também é metade da do paralelogramo.
3. Portanto, [ABN]=[ADM].
4. O triângulo ABN é formado pelas regiões a, b e x: [ABN]=a+b+x.
5. O triângulo ADM é formado pelas regiões d, b e c: [ADM]=d+b+c.

Igualando:

Cortando b dos dois lados:

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BInclui b de forma errada; o b aparece nos dois triângulos e se cancela.
• CSubtrai 2b, mas b aparece uma vez em cada triângulo e se cancela por completo.
• DEsquece a área c no triângulo ADM.
• EUsa c no lugar de d e d no lugar de c de forma incorreta: o certo é somar c e d e subtrair só a.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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