Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2019

Resolução comentada

Use que um triângulo com a mesma base e a mesma altura do paralelogramo tem metade da área dele. Seja S a área de ABCD.

1. O triângulo ABN tem base AB e altura igual à do paralelogramo, pois N está em CD. Logo, sua área é \frac{S}{2}.
2. O triângulo ADM tem base AD e altura igual à distância de M à reta AD, que é a altura do paralelogramo relativa a AD, pois M está em BC. Logo, sua área também é \frac{S}{2}.
3. Decomponha ABN nas regiões da figura: o triângulo a, o quadrilátero b e o triângulo x. Então a + b + x = \frac{S}{2}.
4. Decomponha ADM: o triângulo d, o quadrilátero b e o triângulo c. Então d + b + c = \frac{S}{2}.
5. Igualando as duas expressões:

6. Cancelando b e isolando x:

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão segue da igualdade das áreas dos dois triângulos de área S/2; o b é cancelado, não subtraído.
• CSubtrai 2b sem justificativa, pois b aparece nos dois lados e se cancela.
• DOmite c e subtrai b indevidamente, pois b se cancela.
• ETroca d por c no sinal: o resultado correto é c + d - a, não a + c - d.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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