Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2019

Resolução comentada

Ideia: números só com o algarismo 1 e com o algarismo 2 lembram quadrados perfeitos. Por exemplo, 1111 - 22 = 1089 = 33^2 e 111111 - 222 = 110889 = 333^2. Vamos provar o padrão para o nosso caso.

Seja R = 11111 (cinco algarismos 1). Então:

1. 1111111111 = 11111\cdot 10^5 + 11111 = R(10^5+1).
2. 22222 = 2R.
3. A diferença é R(10^5+1) - 2R = R(10^5 - 1) = R\cdot 99999.
4. Como 99999 = 9\cdot 11111 = 9R, a diferença vale 9R^2.

Logo:

Soma dos algarismos: 3\cdot 5 = 15.

Conferência com o padrão menor: \sqrt{1111-22}=33, ou seja 3R com R=11. Confere.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde ao resultado 33333; soma de algarismos 10 não surge de nenhum erro natural aqui.
• CSeria a soma dos algarismos de um número como 99999/..., mas o resultado correto 33333 soma 15, não 18.
• DEquivaleria a 4 algarismos 5 ou a uma raiz errada; o número correto tem cinco algarismos 3.
• EResultaria de cinco algarismos 5, o que não é a raiz obtida.

Assunto: Potenciação e radiciação.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.