Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2019

Question

Observe a sequência de figuras abaixo, todas elas com a forma da letra Y. Seguindo este padrão, quantas bolinhas terá a 15^a figura?

Sequência com três figuras formadas por bolinhas dispostas no formato da letra Y, seguida de reticências. A Figura 1 tem 5 bolinhas (3 na haste vertical inferior e 1 em cada haste diagonal superior). A Figura 2 tem 8 bolinhas (4 na haste vertical inferior e 2 em cada haste diagonal superior). A Figura 3 tem 11 bolinhas (5 na haste vertical inferior e 3 em cada haste diagonal superior).

A
35
B
47
C
50
D
52
E
60

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Progressão aritmética

Observe a sequência de figuras abaixo, todas elas com a forma da letra Y. Seguindo este padrão, quantas bolinhas terá a 15^a figura?

Sequência com três figuras formadas por bolinhas dispostas no formato da letra Y, seguida de reticências. A Figura 1 tem 5 bolinhas (3 na haste vertical inferior e 1 em cada haste diagonal superior). A Figura 2 tem 8 bolinhas (4 na haste vertical inferior e 2 em cada haste diagonal superior). A Figura 3 tem 11 bolinhas (5 na haste vertical inferior e 3 em cada haste diagonal superior).

A
35
B
47
C
50
D
52
E
60

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A figura 1 é formada por 5 bolinhas em formato de Y e, a partir dela, quando passamos de uma figura para a seguinte, a próxima figura tem 3 bolinhas acrescidas, sendo uma em cada ponta do Y. Logo, a 15ª figura terá 5 + 3 \times 14 = 47 bolinhas.

Mais geralmente, a quantidade de bolinhas na n-ésima figura é 5 + 3(n - 1) = 3n + 2.

[Figura: Sequência intitulada "Figura 1", "Figura 2" e "Figura 3", seguida de reticências. Cada figura é composta de círculos formando a letra Y: a Figura 1 possui uma coluna vertical com 3 bolinhas e dois ramos no topo com 1 bolinha cada, totalizando 5; a Figura 2 possui coluna de 4 bolinhas e ramos de 2 bolinhas cada, totalizando 8; a Figura 3 possui coluna de 5 bolinhas e ramos de 3 bolinhas cada, totalizando 11.]

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Resolução comentada

Contando as bolinhas de cada figura, vemos que a quantidade cresce de 3 em 3: 5, 8, 11, ... Cada figura tem uma haste vertical e duas diagonais, e cada parte ganha bolinhas a cada passo.

Veja como a figura é formada. Na figura n:

cada haste diagonal tem n bolinhas (1, 2, 3, ...);
a haste vertical tem n+2 bolinhas (3, 4, 5, ...).

O total é então:

n + n + (n+2) = 3n+2

Conferindo: n=1 dá 5; n=2 dá 8; n=3 dá 11. Bate com as figuras.

Para a 15ª figura:

Diagonais: 15 + 15 = 30 bolinhas.
Haste vertical: 15+2 = 17 bolinhas.
Total: 30 + 17 = 47.

Ou pela fórmula: 3\cdot 15 + 2 = 47.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa 3n-10 ou algo sem base no padrão; não segue 3n+2 (ex.: 15+20).
CCalcula 3\cdot 15 + 5 = 50, somando o 5 da primeira figura em vez de 2.
DSoma 3 a cada passo mas começa errado, chegando a 3\cdot 15+7 = 52.
EMultiplica 15 por 4, sem relação com o padrão de crescimento de 3 em 3.

Assunto: Progressão aritmética.

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OBMEP 2019 · Questão 15 (Nível 1)Observe a sequência de figuras abaixo, todas elas com a forma da letra Y. Seguindo este padrão, quantas bolinhas terá a 15 a figura?

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Questão 4 no caderno Nível 2 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗