Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2019

Question

As casas da figura abaixo devem ser preenchidas com números primos. Em cada linha ou coluna, o produto dos números deve ser igual ao número indicado pela seta. A coluna indicada por 294 já está preenchida. Qual é o número que deve ser escrito na casa marcada com \boldsymbol{*} ?

A
2
B
3
C
5
D
7
E
11

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

As casas da figura abaixo devem ser preenchidas com números primos. Em cada linha ou coluna, o produto dos números deve ser igual ao número indicado pela seta. A coluna indicada por 294 já está preenchida. Qual é o número que deve ser escrito na casa marcada com \boldsymbol{*} ?

A
2
B
3
C
5
D
7
E
11

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Inicialmente, observamos que as decomposições em fatores primos dos números que aparecem no enunciado são:
462 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11
150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5
495 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11
84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

Na interseção de 150 com 462, deve aparecer o 2, pois o 3 já está na interseção de 150 com 294.

A interseção de 495 com 84 deve ser preenchida com o 3, pois é o único fator primo comum entre esses dois números. Desta forma, sobra o 7 para a interseção de 462 com 84.

Então, como a fatoração do 84 é 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2, concluímos que * = 2.

[Figura: Diagrama de palavras cruzadas numéricas com colunas encabeçadas por 495, 462 e 294 com setas para baixo, e linhas indicadas por 84 e 150 com setas horizontais. A coluna do 294 está preenchida com os números 2, 7, 3 e 7 de cima para baixo, cruzando a linha do 150 no número 3. A linha do 84 cruza a coluna do 495 na primeira casa, a coluna do 462 na terceira casa, e termina na quarta casa com um asterisco ().]*

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Pela figura, a linha de 150 tem 4 casas: a 1ª pertence à coluna de 462 (3ª casa de cima para baixo... na verdade a 2ª), seguida de duas casas livres e, por fim, o 3 da coluna de 294.

Fatorando: 150 = 2\cdot 3\cdot 5^2. Como o último fator é 3, os outros três primos multiplicam 50 = 2\cdot 5\cdot 5.
Coluna de 462: 462 = 2\cdot 3\cdot 7\cdot 11. Suas 4 casas são esses quatro primos. A segunda casa dessa coluna faz parte da linha de 150, então tem de estar entre 2, 5, 5. O único comum com \{2,3,7,11\} é o 2. Logo essa casa vale 2, e as outras duas casas da linha valem 5 e 5.
Restam na coluna de 462 os primos 3, 7, 11 para as outras três casas (1ª, 3ª e 4ª).
Coluna de 495: 495 = 3^2\cdot 5\cdot 11. Suas 4 casas são 3, 3, 5, 11.
Linha de 84: 84 = 2^2\cdot 3\cdot 7, com 4 casas: 2ª casa da coluna 495, duas casas livres, a 4ª casa da coluna 462 e o *. Pela figura, a linha de 84 usa a 3ª casa da coluna de 462 (a 4ª casa dessa coluna é a da linha de 84).

A casa da coluna 495 na linha de 84 deve dividir 84 e estar em \{3,5,11\}: só pode ser 3. A casa da coluna 462 nessa linha está em \{3,7,11\} e divide 84: é 3 ou 7.

Os quatro primos da linha multiplicam 84 =2\cdot2\cdot3\cdot7. Um deles é 3 (coluna 495). Os outros três são 2,2,7 em alguma ordem. Então a casa da coluna 462 é 7 (única possível), e as duas casas livres são 2 e 2, sobrando o * igual a 2.

Conferindo: 3\cdot2\cdot7\cdot2=84.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BO 3 já foi usado na coluna de 495 dentro da linha de 84; sobram apenas 2, 2 e 7.
CO 5 não divide 84, então não pode aparecer nessa linha.
DO 7 da linha de 84 fica na coluna de 462, não no asterisco.
EO 11 não divide 84, logo não pode estar na linha.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2019 · Questão 7 (Nível 1)As casas da figura abaixo devem ser preenchidas com números primos. Em cada linha ou coluna, o produto dos números deve ser igual ao número indicado…

Ver como caiu na prova

Questão 3 no caderno Nível 2 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗