Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2019

Question

Uma folha quadrada de 8\ \text{cm} de lado foi dobrada três vezes como na figura. A primeira e a segunda dobras ficaram paralelas a uma diagonal da folha, e a terceira dobra ficou perpendicular a essa diagonal. Qual é a área da figura final?

Figura final, totalmente verde, em forma de pentágono obtido após a realização da terceira dobra.

A
10\ \text{cm}^2
B
13\ \text{cm}^2
C
19\ \text{cm}^2
D
26\ \text{cm}^2
E
38\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2019

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma folha quadrada de 8\ \text{cm} de lado foi dobrada três vezes como na figura. A primeira e a segunda dobras ficaram paralelas a uma diagonal da folha, e a terceira dobra ficou perpendicular a essa diagonal. Qual é a área da figura final?

Figura final, totalmente verde, em forma de pentágono obtido após a realização da terceira dobra.

A
10\ \text{cm}^2
B
13\ \text{cm}^2
C
19\ \text{cm}^2
D
26\ \text{cm}^2
E
38\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A área da figura final, o pentágono verde, é metade da área da região cujo contorno é o da terceira figura, ou seja, metade da área do hexágono destacado em vermelho na figura ao lado:

[Figura: Dobradura formada por partes verdes e amarelas, com o contorno externo total destacado por uma borda vermelha, formando um hexágono.]

A área desse hexágono é igual à área da folha original amarela, menos a área dos dois triângulos tracejados da figura ao lado:

[Figura: Dobradura sobreposta à folha quadrada original, destacando dois triângulos retângulos tracejados que completam o quadrado: um no canto superior esquerdo com catetos de 6 cm e outro no canto inferior direito com catetos de 4 cm.]

Logo, a área da figura final é metade de 64 - \frac{6 \cdot 6}{2} - \frac{4 \cdot 4}{2} = 38\text{ cm}^2, ou seja, é igual a 19\text{ cm}^2.

OUTRA SOLUÇÃO:
Se quadricularmos a folha amarela em 8 \times 8 = 64 quadrinhos iguais, cada um deles de área 1\text{ cm}^2, observamos que a área da figura final (contornada em vermelho na figura ao lado) é formada por 15 quadrinhos de área igual a 1\text{ cm}^2 e por 8 metades de quadradinhos, totalizando
15 + (8 \times \frac{1}{2}) = 19\text{ cm}^2.

[Figura: Malha quadriculada de 8 por 8 mostrando a folha dobrada com a figura final (pentágono) contornada em vermelho, destacando os quadradinhos inteiros e as metades que a compõem.]

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Resolução comentada

Coloque o quadrado com vértices (0,0) e (8,8) e a diagonal ligando esses pontos. O que importa é a silhueta da figura após cada dobra.

1ª dobra: liga (4,0) a (8,4). O canto (8,0) é dobrado para dentro. O triângulo dobrado tem área \frac{4\cdot 4}{2}=8\ \text{cm}^2 e cai sobre a própria folha, em cima de (4,0),(8,4),(4,4). A silhueta passa a ter 64-8=56\ \text{cm}^2.
2ª dobra: a figura mostra a linha mais próxima da diagonal, ligando (0,2) a (6,8). O canto (0,8) é dobrado sobre ela. O triângulo (0,2),(0,8),(6,8) tem área \frac{6\cdot 6}{2}=18\ \text{cm}^2 e, dobrado, também fica dentro da silhueta. A silhueta passa a ter 56-18=38\ \text{cm}^2.
3ª dobra: é perpendicular à diagonal e passa pelo seu ponto médio (4,4), ou seja, está sobre a reta x+y=8. A silhueta é simétrica em relação a essa reta: (0,0)\leftrightarrow(8,8), (4,0)\leftrightarrow(8,4) e (0,2)\leftrightarrow(6,8). Dobrando por essa reta, uma metade cobre exatamente a outra.

A figura final tem metade da área da silhueta: \frac{38}{2}=19\ \text{cm}^2.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana: 38\ \text{cm}^2 é a área após a 2ª dobra, e o aluno esquece que a 3ª dobra ainda reduz a área à metade.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma etapa da dobradura; a área final é bem maior que 10\ \text{cm}^2.
BValor sem relação com as áreas das dobras; ignora a simetria da silhueta.
DSeria a metade de 52, por exemplo, mas a silhueta após as duas dobras tem 38, não 52.
EÉ a área depois das duas primeiras dobras (38); esquece de dividir por 2 na terceira dobra.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 20 no caderno Nível 1 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 1. Prova oficial ↗