Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2019

Question

O quadrado ABCD tem 8 cm de lado. O ponto P, no interior do quadrado, é tal que a área do triângulo APD é o dobro da área do triângulo ABP. Seja x a distância, em centímetros, do ponto P ao lado AB. Qual é o gráfico da área da região destacada em cinza em função de x?

Quadrado ABCD com vértices A e D na parte superior e B e C na base. No interior do quadrado, o ponto P está conectado aos vértices A, B e D. Uma linha tracejada horizontal que parte do lado AB até o ponto P representa a distância x. A região poligonal PBCD está sombreada em cinza.

A
B
C
D
E

Answer 1

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Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Função afim

O quadrado ABCD tem 8 cm de lado. O ponto P, no interior do quadrado, é tal que a área do triângulo APD é o dobro da área do triângulo ABP. Seja x a distância, em centímetros, do ponto P ao lado AB. Qual é o gráfico da área da região destacada em cinza em função de x?

Quadrado ABCD com vértices A e D na parte superior e B e C na base. No interior do quadrado, o ponto P está conectado aos vértices A, B e D. Uma linha tracejada horizontal que parte do lado AB até o ponto P representa a distância x. A região poligonal PBCD está sombreada em cinza.

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Quadrado ABCD com vértices A e D na parte superior e B e C na base. No interior há um ponto P ligado aos vértices A, B e D. A distância perpendicular de P ao lado AB é indicada por uma linha tracejada com medida x. Os triângulos ABP e APD estão em branco, e a região poligonal restante, formada pelos vértices P, B, C e D, está preenchida em cinza.]

A área do triângulo ABP em função de x é igual a \frac{8 \cdot x}{2} = 4x, pois sua base AB mede 8 cm, e a altura relativa a essa base é exatamente a distância do ponto P a essa base, ou seja, x. A área do triângulo APD é o dobro, isto é, 8x. Portanto, a área da região destacada em cinza é igual à área do quadrado subtraída das áreas desses dois triângulos, ou seja, igual a 8^2 - (4x + 8x) = 64 - 12x. O valor de x varia entre 0, quando P coincide com o vértice A, e 4, quando P coincide com o ponto médio do lado BC (lembremos que o ponto P deve permanecer no interior do quadrado, conforme nos diz o enunciado). Se y é área da região cinza, então y = 64 - 12x para x real e 0 \le x \le 4, e o gráfico de y em função de x é um segmento de reta, conforme figura abaixo.

[Figura: Gráfico cartesiano com eixo horizontal em cm e eixo vertical em cm². Um segmento de reta liga o ponto (0, 64) no eixo vertical ao ponto (4, 16), com linhas tracejadas marcando as coordenadas desse segundo ponto.]

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Resolução comentada

A região cinza é o que sobra do quadrado depois de retirarmos os triângulos ABP e APD. Como o quadrado fica dividido em ABP, APD e a região cinza PBCD, basta calcular a área dos dois triângulos brancos.

Área do quadrado: 8\cdot 8 = 64\ \text{cm}^2.
O triângulo ABP tem base AB = 8 e altura igual à distância de P ao lado AB, que é x. Logo, [ABP]=\dfrac{8x}{2}=4x.
Pelo enunciado, [APD]=2\cdot[ABP]=8x.
Área cinza:
64-4x-8x = 64-12x.

O gráfico é uma reta decrescente, com y=64 em x=0.

Agora, qual é o intervalo de x? O triângulo APD tem base AD=8 e altura igual à distância de P ao lado AD, que chamamos de h. Então [APD]=4h, e 4h=8x dá h=2x.

Como P está dentro do quadrado, h<8, ou seja, x<4. Para x=4, P ficaria sobre o lado CD, e a área cinza seria 64-48=16.

Portanto, o gráfico é o segmento de reta que vai de (0,64) até (4,16).

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Amostra uma reta crescente até 64, mas a área cinza diminui quando x aumenta.
Bvai até x=8, ignorando que P precisa estar dentro do quadrado, o que limita x<4; a área também não chega a zero.
Csupõe área constante a partir de x=4 e valor 32 em x=4, o que não decorre de 64-12x.
Dé crescente e começa em 0, mas a área cinza é 64 quando x=0 e diminui.

Assuntos: Função afim, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗