Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2019

Question

Sabendo que as áreas dos triângulos BCQ e QCP da figura são, respectivamente, 6 e 2, qual é a área do retângulo ABCD?

Retângulo ABCD com vértices A, B, C e D; o ponto P está no lado superior CD, o segmento BP intersecta a diagonal AC no ponto Q

A
48
B
50
C
52
D
54
E
56

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Sabendo que as áreas dos triângulos BCQ e QCP da figura são, respectivamente, 6 e 2, qual é a área do retângulo ABCD?

Retângulo ABCD com vértices A, B, C e D; o ponto P está no lado superior CD, o segmento BP intersecta a diagonal AC no ponto Q

A
48
B
50
C
52
D
54
E
56

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[Figura: Retângulo ABCD com vértices A no canto inferior esquerdo, B no canto inferior direito, C no canto superior direito e D no canto superior esquerdo. O lado vertical BC tem medida indicada por a. No lado superior CD, há um ponto P tal que o segmento CP mede b. Os segmentos AC e BP cruzam-se no ponto Q. Uma linha tracejada vertical passa por Q, perpendicular aos lados horizontais, dividida em um segmento superior de comprimento x e um segmento inferior de comprimento y.]

A medidas dos segmentos BC e CP são denotadas, respectivamente, por a e b, e x e y denotam as medidas das alturas dos triângulos PQC e ABQ, respectivamente. A área do triângulo BCP é 8, assim \frac{a \times b}{2} = 8; portanto b = 16/a. Além disso, temos as relações:

\frac{16}{a} \times \frac{x}{2} = 2 Leftrightarrow x = \frac{a}{4}
y = a - \frac{a}{4} = \frac{3}{4} a

Por outro lado, os triângulos ABQ e PQC são semelhantes (por terem seus ângulos internos iguais) com razão de semelhança \frac{y}{x} = 3, o que implica na igualdade

\text{á}rea(ABQ) = 9 \times \text{á}rea(PQC) = 18.

Portanto, \text{á}rea(ABCD) = 2 \times (18 + 6) = 48.

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Resolução comentada

Na figura, D e C estão no lado de cima, A e B embaixo, P está em CD e Q é o cruzamento de BP com AC.

Como CD é paralelo a AB, os triângulos PQC e BQA são semelhantes (ângulos alternos internos iguais e ângulos opostos pelo vértice em Q).

Os triângulos BCQ e QCP têm a mesma altura em relação à reta BP (a distância de C a essa reta), então a razão das áreas é a razão das bases:

\frac{BQ}{QP}=\frac{6}{2}=3

Logo a razão de semelhança entre BQA e PQC é 3, ou seja, AB = 3\cdot PC e AQ = 3\cdot QC.

Agora, os triângulos ABQ e BCQ têm a mesma altura em relação à reta AC, com bases AQ = 3QC. Então:

\text{área}(ABQ)=3\cdot \text{área}(BCQ)=3\cdot 6=18

O triângulo ABC tem área 18+6=24, que é metade do retângulo.

\text{área}(ABCD)=2\cdot 24=48

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com as razões de área encontradas; não decorre de nenhum cálculo correto.
CErro de conta ao somar as áreas dos triângulos; não corresponde à razão 3 entre as áreas.
DNão segue da razão de semelhança 3; resultado de conta incorreta.
EValor sem justificativa; ignora que o triângulo ABC é metade do retângulo com área 24.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗