Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2019

Question

Quatro cartões, cada um deles com um número inteiro positivo, são tais que toda vez que somamos os números de três deles obtemos um número igual ou maior do que 24. Considere as seguintes afirmações:

I) Todos os números são iguais ou maiores do que 8.
II) Existem dois números cuja soma é igual ou maior do que 16.
III) Existem dois números cujo produto é igual ou maior do que 64.

Quais afirmações são necessariamente verdadeiras?

A
somente I e II
B
somente I e III
C
somente II e III
D
somente II
E
I, II e III

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Inequações e desigualdades

Quatro cartões, cada um deles com um número inteiro positivo, são tais que toda vez que somamos os números de três deles obtemos um número igual ou maior do que 24. Considere as seguintes afirmações:

I) Todos os números são iguais ou maiores do que 8.
II) Existem dois números cuja soma é igual ou maior do que 16.
III) Existem dois números cujo produto é igual ou maior do que 64.

Quais afirmações são necessariamente verdadeiras?

A
somente I e II
B
somente I e III
C
somente II e III
D
somente II
E
I, II e III

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A afirmação I é falsa, pois, por exemplo, os cartões com os números 1, 1, 22 e 22 satisfazem o enunciado e nem todos são iguais ou maiores do que 8.

A afirmação II é verdadeira. Para ver isso, sejam a, b, c e d os números nos cartões. Sabemos que

\begin{aligned} a + b + c &\ge 24 \\ a + b + d &\ge 24 \\ a + c + d &\ge 24 \\ b + c + d &\ge 24 \end{aligned}

Da primeira igualdade, podemos inferir que ou a \ge 8 ou b \ge 8 ou c \ge 8. Sem perda de generalidade, suponhamos a \ge 8. Analisemos agora a última das quatro equações acima; pelo mesmo motivo, um dos três números, b, c ou d, deve ser igual ou maior do que 8, digamos que b \ge 8, novamente sem perda de generalidade. Logo, a + b \ge 16.

A afirmação III é verdadeira. Escolhendo a e b como acima, concluímos que a \times b \ge 64.

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Resolução comentada

Chame os números, em ordem crescente, de a\le b\le c\le d. A condição diz que toda soma de três deles é pelo menos 24. A soma mais difícil de satisfazer é a das três menores, então basta a+b+c\ge 24.

Afirmação I. O menor número pode ser pequeno. Exemplo: 1, 23, 23, 23. Qualquer soma de três é pelo menos 1+23+23=47\ge 24, mas há um número menor que 8. A afirmação I é falsa.

Afirmação II. Como a\le c e b\le c, temos 24\le a+b+c\le 3c, logo c\ge 8. Como d\ge c, também d\ge 8. Então c+d\ge 8+8=16. A afirmação II é verdadeira.

Afirmação III. Pelo mesmo raciocínio, c\ge 8 e d\ge 8, então c\cdot d\ge 8\cdot 8=64. A afirmação III é verdadeira.

São necessariamente verdadeiras apenas II e III.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem acha que, como a média dos três números é pelo menos 8, todos os números têm de ser pelo menos 8. Só os dois maiores precisam ser.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera a I verdadeira, mas o contraexemplo 1, 23, 23, 23 a refuta, e ignora que a III é verdadeira.
BInclui a I, que é falsa, e deixa de fora a II, que é verdadeira.
DReconhece a II, mas esquece que c,d\ge 8 também garante produto \ge 64.
EInclui a I, que é falsa: o menor número pode ser 1.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 14 no caderno Nível 3 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗