Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2018

Question

A figura mostra o gráfico da função definida por y = x^2. O ponto A tem coordenadas (0, p). Qual é o valor de p?

Gráfico da função y = x² no plano cartesiano, mostrando uma parábola com vértice na origem (0, 0). Dois pontos na parábola com abscissas x = -2 e x = 3 são ligados por um segmento de reta tracejado que intercepta o eixo y no ponto A. Linhas verticais tracejadas ligam esses pontos aos valores -2 e 3 no eixo x.

A
5
B
5,5
C
6
D
6,25
E
6,5

Answer 1

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Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2018

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

A figura mostra o gráfico da função definida por y = x^2. O ponto A tem coordenadas (0, p). Qual é o valor de p?

Gráfico da função y = x² no plano cartesiano, mostrando uma parábola com vértice na origem (0, 0). Dois pontos na parábola com abscissas x = -2 e x = 3 são ligados por um segmento de reta tracejado que intercepta o eixo y no ponto A. Linhas verticais tracejadas ligam esses pontos aos valores -2 e 3 no eixo x.

A
5
B
5,5
C
6
D
6,25
E
6,5

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na figura ao lado, marcamos as ordenadas dos pontos B e C. Observamos agora que \overline{BD} = 3 - (-2) = 5 e \overline{CD} = 9 - 4 = 5; segue que o triângulo BDC é isósceles. Como esse triângulo tem ângulo reto em D, segue também que seus outros dois ângulos, em particular o ângulo em B, medem 45^\circ. O triângulo BEA tem ângulo reto em E e seu ângulo em B mede 45^\circ; logo, ele também é isósceles e, então, \overline{AE} = \overline{BE} = 2. Segue que a ordenada de A é 2 + 4 = 6.

[Figura: Gráfico de uma parábola no plano cartesiano com pontos B(-2, 4) e C(3, 9), o segmento BC intersectando o eixo vertical em A, e linhas pontilhadas marcando E(0, 4) e D(3, 4), definindo os triângulos retângulos BEA e BDC.]

Podemos fazer a mesma pergunta para o caso geral, ilustrado à esquerda; aqui tomamos a, b > 0. Suponhamos que a < b. O argumento procede observando a semelhança dos triângulos BEA e BDC, que nos dá \frac{\overline{AE}}{\overline{BE}} = \frac{\overline{CD}}{\overline{BD}}, ou seja

\frac{\overline{AE}}{a} = \frac{b^2 - a^2}{b - (-a)} = \frac{(b - a)(b + a)}{b + a} = b - a

Temos então \overline{AE} = ab - a^2 e segue que a ordenada de A é a^2 + ab - a^2 = ab. O caso a = b é trivial e o caso a > b é análogo ao que acabamos de fazer. O resultado não muda: a ordenada do ponto A é sempre ab.

[Figura: Gráfico análogo para o caso geral com a parábola, pontos B(-a, a^2) e C(b, b^2), interseção A no eixo das ordenadas, e pontos E(0, a^2) e D(b, a^2) formando os triângulos retângulos BEA e BDC.]

Outra solução para o caso geral, usando geometria analítica, é observar que a equação da reta BC é dada por

y - a^2 = \frac{b^2 - a^2}{b - (-a)} (x - (-a)) = (b - a)(x + a)\text{; para } x = 0 \text{ temos } y = ab.

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Resolução comentada

Os dois pontos da parábola têm abscissas -2 e 3. Como y = x^2, suas ordenadas são:

para x=-2: y=(-2)^2=4, ou seja, o ponto (-2,\,4);
para x=3: y=3^2=9, ou seja, o ponto (3,\,9).

O ponto A=(0,p) é onde a reta que passa por esses dois pontos corta o eixo y. Essa reta tem equação y = mx + p, em que p é o coeficiente linear (o valor de y quando x=0).

Coeficiente angular:
m=\frac{9-4}{3-(-2)}=\frac{5}{5}=1
Substituindo o ponto (3,9) em y = x + p:
9 = 3 + p \Rightarrow p = 6
Conferindo com o ponto (-2,4): 4 = -2 + 6. Confere.

Portanto A=(0,6) e p=6.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E (6,5) engana quem faz a média das ordenadas 4 e 9, esquecendo que o eixo y não passa pelo ponto médio de −2 e 3.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base nas contas; pode vir de erro ao determinar a equação da reta.
BResultado de erro de conta, não corresponde à reta que passa por (−2, 4) e (3, 9).
D6,25 seria o valor de 2{,}5^2, ao usar a média das abscissas de forma errada.
E6,5 é a média de 4 e 9, mas A não é o ponto médio do segmento, pois 0 não está no meio de −2 e 3.

Assuntos: Função quadrática, Função afim.

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Questão 8 no caderno Nível 3 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗