Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Queremos \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}. Então basta descobrir a razão entre x^2+y^2 e xy.

Chame S = x^2+y^2 e P = xy. Como (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = S+2P, a condição dada vira:

1. \dfrac{S}{S+2P}=\dfrac{7}{12}
2. Multiplicando em cruz: 12S = 7S + 14P
3. Então 5S = 14P, ou seja, \dfrac{S}{P}=\dfrac{14}{5}=2{,}8

Assim, \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{S}{P}=2{,}8.

Verificação: com S=14 e P=5, temos (x+y)^2=14+10=24, e \frac{14}{24}=\frac{7}{12}, o que confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor que ocorreria se x=y, mas aí a fração dada seria \frac{1}{2}, não \frac{7}{12}.
• BNão decorre de nenhuma manipulação correta; ignora o termo 2xy do quadrado da soma.
• CResultado de erro de conta ao isolar S/P; a relação correta é 5S=14P.
• DTambém não satisfaz 5S=14P; daria S/P=\frac{13}{5}.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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