Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2018

Question

Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150 as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De quantas maneiras podemos escrever 360 como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a três números inteiros positivos consecutivos?

A
12
B
15
C
20
D
60
E
120

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2018

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150 as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De quantas maneiras podemos escrever 360 como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a três números inteiros positivos consecutivos?

A
12
B
15
C
20
D
60
E
120

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Escrever o número 360 como soma de três parcelas inteiras proporcionais a três inteiros positivos consecutivos significa escrever a equação

360 = k \cdot (n - 1) + k \cdot n + k \cdot (n + 1)

em que (n - 1), n e (n + 1) são os três inteiros positivos consecutivos e k é a constante de proporcionalidade. Observe que k deve ser um número inteiro não nulo para garantir que as três parcelas k \cdot (n - 1), k \cdot n e k \cdot (n + 1) sejam inteiras e não nulas. Dividindo ambos os lados da igualdade acima por k, obtemos

\frac{360}{k} = (n - 1) + n + (n + 1) = 3 \cdot n \implies n = \frac{120}{k}

Logo, por ser um número inteiro não nulo, a constante de proporcionalidade k deve ser um divisor positivo de 120, mas não pode ser o próprio 120. Se k fosse 120, então n seria 1 e teríamos:

360 = 120 \cdot (1 - 1) + 120 \cdot 1 + 120 \cdot (1 + 1) = 0 + 120 + 240.

Nessa decomposição de 360 os fatores não são todos positivos, o que é vetado pelo enunciado. Logo,

k \in \{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60\}

Portanto, é possível escrever o número 360 de 15 maneiras diferentes como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a três inteiros positivos consecutivos.

Observação: o exemplo do enunciado ocorre quando k = 30; nesse caso, temos:

n = 4 \text{ e } 360 = 30 \cdot (4 - 1) + 30 \cdot 4 + 30 \cdot (4 + 1) = 90 + 120 + 150.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Se as parcelas são proporcionais a três inteiros positivos consecutivos n, n+1 e n+2, elas são cn, c(n+1) e c(n+2), para algum c positivo.

A soma é c(3n+3)=360, logo c=\dfrac{120}{n+1}.
A parcela do meio é c(n+1)=120, sempre.
A menor parcela é \dfrac{120n}{n+1}=120-\dfrac{120}{n+1}. Ela só é inteira se (n+1) dividir 120.
A maior parcela é 120+\dfrac{120}{n+1}, que então também é inteira.
Como n\ge 1, temos n+1\ge 2. Basta contar os divisores de 120 maiores que 1.

Como 120=2^3\cdot3\cdot5, o número de divisores é 4\cdot2\cdot2=16. Tirando o divisor 1 (que daria n=0, não positivo), sobram 15.

Cada valor de n dá uma trinca diferente, e todas estão em ordem crescente. Por exemplo, n=3 dá 90,120,150. Portanto há 15 maneiras.

Alternativa B.

Pegadinha: Contar os 16 divisores de 120 e esquecer de descartar o divisor 1, que daria n=0 (não positivo), levando à alternativa 16 que nem aparece; a conta correta é 15.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde à contagem correta de divisores de 120 maiores que 1.
CNão corresponde a nenhuma contagem válida dos divisores de 120.
DConfunde o número de divisões possíveis com o número de divisores; 60 é apenas um dos divisores.
EUsa o valor 120, que é o próprio número, em vez da quantidade de divisores.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Razão e proporção.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗