Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2018

Question

A figura mostra um quadrilátero convexo ABCD de área 1 e pontos P, Q, R e S tais que

AP = \frac{AB}{3}\ ,\ BQ = \frac{BC}{3}\ ,\ CR = \frac{CD}{3}\ \text{e}\ DS = \frac{DA}{3}\ .

Qual é a área do quadrilátero PQRS?

Quadrilátero convexo ABCD com vértices A, B, C e D, e pontos P sobre AB, Q sobre BC, R sobre CD e S sobre DA delimitando a região sombreada PQRS

A
1/3
B
5/9
C
2/3
D
7/9
E
6/7

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2018

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra um quadrilátero convexo ABCD de área 1 e pontos P, Q, R e S tais que

AP = \frac{AB}{3}\ ,\ BQ = \frac{BC}{3}\ ,\ CR = \frac{CD}{3}\ \text{e}\ DS = \frac{DA}{3}\ .

Qual é a área do quadrilátero PQRS?

Quadrilátero convexo ABCD com vértices A, B, C e D, e pontos P sobre AB, Q sobre BC, R sobre CD e S sobre DA delimitando a região sombreada PQRS

A
1/3
B
5/9
C
2/3
D
7/9
E
6/7

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos calcular a área do quadrilátero PQRS subtraindo da área do quadrilátero ABCD a soma das áreas dos triângulos APS, BQP, CRQ e DSR.

[Figura: Quadrilátero ABCD contendo no interior o quadrilátero sombreado PQRS, com vértices sobre os lados de ABCD. A diagonal BD e o segmento PS' estão traçados em azul, onde S' é um ponto sobre o lado AD, entre A e S.]

Tomemos inicialmente a diagonal BD do quadrilátero, que o divide em dois triângulos ABD e CDB, como na figura ao lado. Chamemos S' o ponto médio do segmento AS; assim, AS' = AD/3.

Como AP = AB/3 e AS' = AD/3, sabemos, pela recíproca do Teorema de Tales, que o segmento PS' é paralelo ao segmento BD. Consequentemente, os triângulos APS' e ABD são semelhantes, a razão de semelhança é 1/3 e, portanto, a razão entre as áreas desses triângulos é 1/9, ou seja,

\text{Área }(APS') = \frac{1}{9}\text{Área}(ABD).

Sabemos também que S' é o ponto médio ao segmento AS, portanto,

\text{Área }(APS') = \frac{1}{2}\text{Área}(APS),

pois os dois triângulos têm a mesma altura. Comparando as duas últimas igualdades, concluímos que

\text{Área }(APS) = \frac{2}{9}\text{Área}(ABD).

Da mesma forma, podemos verificar que

\text{Área}(CRQ) = \frac{2}{9}\text{Área}(CDB).

Somando os termos das duas últimas igualdades, temos que:

\text{Área}(APS)+\text{Área}(CRQ) = \frac{2}{9} [\text{Área}(ABD)+\text{Área}(CDB)] = \frac{2}{9}\text{Área}(ABCD) = \frac{2}{9}, pois ABCD tem área 1.

Da mesma forma, podemos verificar que a soma das áreas dos triângulos BPQ e DRS também é igual a \frac{2}{9}.

Portanto, a área do quadrilátero PQRS será igual a 1 - \frac{2}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}.

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Resolução comentada

A ideia é que a área de PQRS é a área de ABCD menos a área dos quatro triângulos dos cantos. Para cada triângulo, usamos que triângulos com a mesma altura têm áreas proporcionais às bases.

Tome o triângulo APS, no vértice A. Como AP = \frac{AB}{3} e AS = AD - DS = \frac{2}{3}AD, a razão entre as áreas é

\frac{[APS]}{[ABD]} = \frac{AP}{AB}\cdot\frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{9}.

O mesmo vale nos outros vértices: [BQP] = \frac{2}{9}[BCA], [CRQ] = \frac{2}{9}[CDB] e [DSR] = \frac{2}{9}[DAC].

Agora somamos os triângulos dos cantos opostos. As diagonais dividem ABCD de dois modos:

[ABD] + [CDB] = 1, então [APS] + [CRQ] = \frac{2}{9}\cdot 1 (pois [ABD]+[BCD]=1).
[BCA] + [DAC] = 1, então [BQP] + [DSR] = \frac{2}{9}\cdot 1.

Os quatro triângulos somam \frac{2}{9}+\frac{2}{9} = \frac{4}{9}.

Portanto:

[PQRS] = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem calcula só 2/9 de área removida (um par de triângulos) e esquece o outro par.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base no cálculo; não considera corretamente a área dos quatro triângulos retirados.
CSupõe que os triângulos dos cantos somam 1/3 da área, o que não decorre das razões \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}.
DRetira só 2/9 (dois triângulos ou uma das somas), esquecendo os outros dois.
EValor sem relação com as razões de área; não aparece no cálculo correto.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗