Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2018

Question

João tem lápis nas cores verde, amarela e preta e quer colorir o tabuleiro da figura, de modo que:

cada quadradinho deve ser colorido com uma única cor;
quaisquer dois quadradinhos com um lado comum devem ser coloridos com cores diferentes.

Tabuleiro quadrado de 2 por 2 composto por quatro quadradinhos iguais em branco

De quantas maneiras diferentes ele pode colorir esse tabuleiro?

A
12
B
18
C
24
D
54
E
81

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2018

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

João tem lápis nas cores verde, amarela e preta e quer colorir o tabuleiro da figura, de modo que:

cada quadradinho deve ser colorido com uma única cor;
quaisquer dois quadradinhos com um lado comum devem ser coloridos com cores diferentes.

Tabuleiro quadrado de 2 por 2 composto por quatro quadradinhos iguais em branco

De quantas maneiras diferentes ele pode colorir esse tabuleiro?

A
12
B
18
C
24
D
54
E
81

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Vamos dividir em dois casos:

[Figura: Grade 2x2 com quatro casas numeradas: I no canto superior esquerdo, II no canto superior direito, III no canto inferior esquerdo e IV no canto inferior direito.]

Caso 1: As casas I e IV devem ser pintadas da mesma cor.

Neste caso, há 3 possibilidades de se pintar a casa I, uma só possibilidade de se pintar a casa IV (pois sua cor deve ser a mesma que a da casa I), duas possibilidades para a casa II e também duas possibilidades para a casa III. Pelo Princípio Multiplicativo da Contagem, há, neste caso, 3 \times 1 \times 2 \times 2 = 12 possibilidades de pinturas.

Caso 2: As casas I e IV devem ser pintadas de cores diferentes. Neste segundo caso, podemos usar três cores para pintar a casa I e duas cores para pintar a casa IV. Como as cores das casas I e IV são diferentes, resta apenas uma possibilidade para se pintar a casa II e uma possibilidade para se pintar a casa III. Novamente pelo Princípio Multiplicativo, temos, neste segundo caso, 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6 possibilidades de pinturas.

Juntando os casos 1 e 2, temos, então, 12 + 6 = 18 possibilidades no total.

Tudo o que fizemos foi contar organizadamente as possibilidades abaixo, sem a necessidade, entretanto, de listá-las uma a uma.

[Figura: Representação visual de todas as 18 possibilidades de coloração do quadrado 2x2 divididas sob os títulos "Caso 1" (12 quadrados) e "Caso 2" (6 quadrados).]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

O tabuleiro 2×2 tem quadradinhos A (cima-esquerda), B (cima-direita), C (baixo-esquerda) e D (baixo-direita). Dois quadradinhos são vizinhos quando têm um lado comum: A-B, A-C, B-D e C-D. A e D não são vizinhos, e B e C também não. Assim, o tabuleiro é um ciclo de 4 casas.

Contamos por etapas, com 3 cores:

A pode ter qualquer uma das 3 cores: 3 opções.
B é vizinho de A, então tem 2 opções.
C é vizinho de A, então também tem 2 opções (pode repetir a cor de B, pois B e C não têm lado comum).
D é vizinho de B e de C, e a quantidade de opções depende de B e C.

Caso 1: B e C com a mesma cor. Para cada A, B tem 2 opções e C copia B. Então são 3\cdot 2 = 6 colorações. D só precisa ser diferente dessa cor única, então tem 2 opções: 6\cdot 2 = 12.

Caso 2: B e C com cores diferentes. Ambas diferem de A, então usam as 2 cores restantes, em 2 ordens. São 3\cdot 2 = 6 colorações. D deve ser diferente de B e de C, ou seja, só pode ter a cor de A: 1 opção. Total: 6\cdot 1 = 6.

Somando:

12 + 6 = 18

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só o caso em que B e C têm a mesma cor e esquece o caso em que são diferentes.
CNão corresponde a nenhuma contagem correta; ignora que D depende das cores de B e C.
DMultiplica 3·3·3·2 ou algo parecido, sem respeitar todas as restrições de vizinhança.
ECalcula 3^4, ignorando a regra de cores diferentes para vizinhos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 14 no caderno Nível 2 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗