Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Na figura, o arco AC é um quarto de uma circunferência de centro D e o arco AB é um oitavo de uma circunferência de centro C. O segmento AD mede 2\text{ cm}. Qual é a área em \text{cm}^2 da região verde?

Região sombreada delimitada pelo segmento CB, pelo arco de circunferência AB com centro em C e pelo arco de circunferência AC com centro em D, com linhas pontilhadas conectando C a D, D a A e C a A

A
2
B
\pi
C
4
D
2\pi
E
4\pi

Answer 1

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Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Na figura, o arco AC é um quarto de uma circunferência de centro D e o arco AB é um oitavo de uma circunferência de centro C. O segmento AD mede 2\text{ cm}. Qual é a área em \text{cm}^2 da região verde?

Região sombreada delimitada pelo segmento CB, pelo arco de circunferência AB com centro em C e pelo arco de circunferência AC com centro em D, com linhas pontilhadas conectando C a D, D a A e C a A

A
2
B
\pi
C
4
D
2\pi
E
4\pi

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O cálculo da área solicitada pode ser feito em duas etapas. Na primeira, consideramos a figura ABCD formada pela metade do quadrado cujo lado tem comprimento 2 (ou seja, o triângulo ACD) e um oitavo do círculo com centro C e raio CA. A medida de CA é 2\sqrt{2} , pois coincide com a diagonal do quadrado de lado 2.

A área dessa figura é: \frac{4}{2} + \frac{1}{8} 8\pi = 2 + \pi.

Na segunda etapa, para calcular a área da região verde, observamos que ela pode ser obtida a partir da figura completa ABCD retirando um quarto do círculo com centro em D e raio DA, o qual mede 2. A área desse um quarto de círculo é \frac{1}{4} 4\pi = \pi.

Fazendo a diferença (2 + \pi) - \pi = 2, temos a área da região verde.

[Figura: Diagrama geométrico com os vértices C, D, A e B. As linhas ligando C a D, D a A e C a A são pontilhadas. Uma região sombreada em verde claro tem vértices em C, B e A, delimitada pelo segmento CB, pelo arco de circunferência BA e pelo arco CA.]

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Resolução comentada

O arco AC é um quarto de circunferência de centro D, então DA = DC = 2 e o ângulo A\hat{D}C = 90^\circ. Pelo teorema de Pitágoras, CA = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2} cm.

O arco AB é um oitavo de circunferência de centro C, então seu raio é CA = 2\sqrt{2} e o ângulo A\hat{C}B = 45^\circ.

A região verde é o setor CAB menos o segmento circular que fica entre a corda CA e o arco AC (centro D).

Área do setor CAB (um oitavo do círculo de raio 2\sqrt{2}):

\frac{1}{8}\cdot\pi\cdot(2\sqrt{2})^2 = \frac{8\pi}{8} = \pi
Segmento circular de AC: é o setor DAC (um quarto do círculo de raio 2) menos o triângulo DAC:

\pi\cdot\frac{2^2}{4} - \frac{2\cdot 2}{2} = \pi - 2
Área verde: o setor CAB contém o segmento circular, pois o arco AC fica dentro do setor. Logo:

\pi - (\pi - 2) = 2

A área verde é 2\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem calcula apenas o setor de 45^\circ e esquece de subtrair o segmento circular.

Por que as outras alternativas estão erradas

BConsidera só a área do setor CAB, sem descontar o segmento circular.
CUsa a área do quadrado de lado 2 ou o dobro do triângulo, sem relação com a região pedida.
DErra o raio do setor ou o dobra, obtendo o dobro da área do setor.
EUsa raio 2 e ângulo errado, ou o quádruplo da área do setor.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 8 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗