Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

A maior potência de 2 que divide o produto 1 \times 2 \times \cdots \times 2023 \times 2024 é 2^{2017}. Qual é a maior potência de 2 que divide o produto 1 \times 2 \times \cdots \times 4047 \times 4048 ?

A
2^{2018}
B
2^{4034}
C
2^{4041}
D
2^{6051}
E
2^{8068}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

A maior potência de 2 que divide o produto 1 \times 2 \times \cdots \times 2023 \times 2024 é 2^{2017}. Qual é a maior potência de 2 que divide o produto 1 \times 2 \times \cdots \times 4047 \times 4048 ?

A
2^{2018}
B
2^{4034}
C
2^{4041}
D
2^{6051}
E
2^{8068}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como 2^{2017} é a maior potência de dois que divide o produto 1 \times 2 \times 3 \times \text{...} \times 2023 \times 2024, podemos escrever esse produto na forma 2^{2017} \times \text{I}, sendo I um número ímpar.

Já o produto 1 \times 2 \times 3 \times \text{...} \times 4047 \times 4048 pode ser escrito da seguinte maneira:
1 \times (2 \times 1) \times 3 \times (2 \times 2) \times 5 \times (2 \times 3)\text{...} \times (2 \times 2023) \times 4047 \times (2 \times 2024) =
(1 \times 3 \times 5 \times \text{...} \times 4047) \times (2 \times 1) \times (2 \times 2) \times (2 \times 3) \times (2 \times 2023) \times (2 \times 2024) =
(1 \times 3 \times 5 \times \text{...} \times 4047) \times (1 \times 2 \times 3 \times \text{...} \times 2023 \times 2024) \times 2^{2024} =
(1 \times 3 \times 5 \times \text{...} \times 4047) \times \text{I} \times 2^{2017} \times 2^{2024}

O primeiro fator da última expressão também é um número ímpar, logo,
1 \times 2 \times 3 \times \text{...} \times 4047 \times 4048 = \text{T} \times 2^{2017+2024} = \text{T} \times 2^{4041}, sendo T um fator ímpar. Assim, o expoente da maior potência de dois que divide o produto dado é 4041.

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Resolução comentada

Entre os números de 1 a 4048, os pares são 2, 4, \ldots, 4048, ou seja, 2\cdot1, 2\cdot2, \ldots, 2\cdot2024. Os ímpares não têm fator 2.

Separando o produto em pares e ímpares:

4048! = (1\cdot3\cdot5\cdots4047)\cdot(2\cdot1)(2\cdot2)\cdots(2\cdot2024)

O segundo grupo tem 2024 fatores iguais a 2 multiplicados por 1\cdot2\cdots2024 = 2024!. Então:

4048! = (\text{ímpares})\cdot 2^{2024}\cdot 2024!

Os ímpares não contribuem com nenhum fator 2. O enunciado diz que a maior potência de 2 que divide 2024! é 2^{2017}. Logo, o expoente de 2 em 4048! é:

fatores 2 tirados dos pares: 2024;
fatores 2 que já estavam em 2024!: 2017;
total: 2024 + 2017 = 4041.

Conferência pela fórmula de Legendre: 2024+1012+506+253+126+63+31+15+7+3+1 = 4041.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AIgnora os 2024 fatores 2 extraídos dos números pares e quase repete o expoente 2017.
BParece vir de dobrar o expoente de 2017, sem base no raciocínio.
DValor sem fundamento, muito maior que o total real de fatores 2.
EDobra o expoente 4034 (ou 2\cdot4034), achando que dobrar o produto dobra o expoente.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Potenciação e radiciação.

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Questão 9 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗