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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Sérgio quer numerar de 1 a 16 os triângulos da Figura 1 de tal modo que números consecutivos fiquem em triângulos que têm um lado comum. Por exemplo, ele pode numerar os triângulos como na Figura 2.

Figura 1: um quadrado grande dividido em 4 quadrados menores em uma grade 2 por 2. Cada um dos 4 quadrados menores possui suas duas diagonais traçadas, dividindo-o em 4 triângulos (superior, inferior, esquerdo e direito), totalizando 16 triângulos.

Figura 2: a mesma grade de 16 triângulos da Figura 1, numerados de 1 a 16 com uma linha tracejada vermelha ligando os números consecutivos. No quadrado superior esquerdo: 1 (direito), 2 (superior), 3 (esquerdo), 4 (inferior). No quadrado inferior esquerdo: 5 (superior), 6 (esquerdo), 7 (inferior), 8 (direito). No quadrado inferior direito: 9 (esquerdo), 10 (inferior), 11 (direito), 12 (superior). No quadrado superior direito: 13 (inferior), 14 (esquerdo), 15 (superior), 16 (direito).

De quantas maneiras Sérgio pode fazer isso?

  1. A
    16
  2. B
    32
  3. C
    48
  4. D
    56
  5. E
    64
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Cada quadradinho tem 4 triângulos formando um ciclo (cada um tem lado comum com dois vizinhos do mesmo quadradinho). Dois triângulos de cada quadradinho encostam nos quadradinhos vizinhos: chame-os de a (liga ao quadradinho anterior) e b (liga ao seguinte). Eles são vizinhos entre si, e o ciclo do quadradinho é a-b-c-d-a. Os 4 quadradinhos formam, assim, um grande ciclo.

Como cada quadradinho só se liga ao resto por a e b, um quadradinho do meio do caminho é percorrido de a até b de um único jeito: a-d-c-b.

Caso 1: o começo e o fim estão em quadradinhos diferentes.

  1. Escolhe-se o quadradinho inicial: 4 modos.
  2. Escolhe-se o sentido de giro: 2 modos.
  3. No inicial, o percurso começa em qualquer lugar e termina no conector de saída: 2 modos.
  4. Os dois quadradinhos do meio têm 1 modo cada.
  5. No último, entra-se pelo conector e percorre-se o ciclo em um dos 2 sentidos: 2 modos.

Total: 4\cdot2\cdot2\cdot2=32.

Caso 2: o começo e o fim estão no mesmo quadradinho. O caminho sai por um conector, percorre os outros 3 quadradinhos e volta pelo outro conector. Os 4 triângulos desse quadradinho se dividem em duas partes, uma terminando em a e outra começando em b:

  • \{a\} e \{b,c,d\};
  • \{a,d\} e \{b,c\};
  • \{a,d,c\} e \{b\}.

São 3 divisões. Há 4 escolhas do quadradinho e 2 do conector de saída, o que dá 4\cdot2\cdot3=24.

Somando: 32+24=56.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B (32) engana quem considera apenas o caso em que o caminho começa em um quadradinho e termina em outro, esquecendo que o começo e o fim podem estar no mesmo quadradinho.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AContagem muito pequena; ignora a maior parte dos caminhos possíveis.
  • BConta só o caso em que começo e fim estão em quadradinhos diferentes (32) e esquece o caso em que ambos estão no mesmo quadradinho.
  • CNão corresponde à contagem correta; erra ao combinar os casos.
  • EPassa de 56 ao contar caminhos repetidos ou impossíveis.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗