Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Na figura abaixo, D, E e F são pontos médios dos lados do triângulo ABC, e G, H e I são pontos médios dos lados do triângulo FBE. A área do triângulo ABC é 48\text{ cm}^2. Qual é a área da região destacada em amarelo?

Triângulo ABC com divisões internas pelos pontos médios e regiões triangulares destacadas em amarelo

A
16\text{ cm}^2
B
18\text{ cm}^2
C
20\text{ cm}^2
D
22\text{ cm}^2
E
24\text{ cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura abaixo, D, E e F são pontos médios dos lados do triângulo ABC, e G, H e I são pontos médios dos lados do triângulo FBE. A área do triângulo ABC é 48\text{ cm}^2. Qual é a área da região destacada em amarelo?

Triângulo ABC com divisões internas pelos pontos médios e regiões triangulares destacadas em amarelo

A
16\text{ cm}^2
B
18\text{ cm}^2
C
20\text{ cm}^2
D
22\text{ cm}^2
E
24\text{ cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os quatro triângulos CDE, DAF, FED e EFB são congruentes e, portanto, têm áreas iguais a \frac{1}{4} da área do triângulo maior ABC; sendo assim, a área do triângulo CDE é 12\text{ cm}^2. Por sua vez, o triângulo EFB também pode ser decomposto em quatro triângulos congruentes, como indicado na figura, e, desse modo, os triângulos EGI e IHB têm áreas iguais a 12/4 = 3\text{ cm}^2. Logo, a área destacada em amarelo, sendo a soma das áreas de CDE com EGI e IHB, é igual a 12 + 3 + 3 = 18\text{ cm}^2.

[Figura: Triângulo ABC com vértice superior C, subdividido em triângulos menores. O triângulo CDE está destacado em amarelo. No triângulo inferior direito EFB, uma nova subdivisão destaca em amarelo os triângulos EGI e IHB, com linhas mais grossas conectando DF e GH.]

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Resolução comentada

Usamos a ideia de que os pontos médios dividem o triângulo em quatro triângulos congruentes, cada um com \frac{1}{4} da área.

Na figura, D é ponto médio de AC, E de BC e F de AB. Os segmentos DE, EF e DF dividem ABC em 4 triângulos iguais, cada um com área:

\frac{48}{4}=12\ \text{cm}^2

O triângulo CDE (amarelo) é um desses quatro: área 12\ \text{cm}^2.
O triângulo FBE também tem área 12\ \text{cm}^2. Ele é dividido da mesma forma pelos pontos médios G, H e I, em 4 triângulos iguais de área \frac{12}{4}=3\ \text{cm}^2.
Na figura, G está em EF, I em BE e H em FB. Os triângulos amarelos são EGI e IHB, cada um com 3\ \text{cm}^2.

Soma da região amarela:

12+3+3=18\ \text{cm}^2

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera só o triângulo grande CDE somado a apenas um dos triângulos pequenos, ou erra a divisão das áreas.
CSoma valores a mais, como se os triângulos pequenos valessem 4 cm² cada.
DNão corresponde a nenhuma soma de áreas da divisão por pontos médios.
EPensa que o amarelo é metade do triângulo, ignorando que os triângulos pequenos valem 3 cm².

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗