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Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Sérgio quer numerar de 1 a 16 os triângulos da Figura 1 de tal modo que números consecutivos fiquem em triângulos que têm um lado comum. Por exemplo, ele pode numerar os triângulos como na Figura 2.

Figura 1: quadrado dividido em quatro quadrados menores por uma linha vertical e uma horizontal; cada quadrado menor possui suas duas diagonais traçadas, totalizando 16 triângulos retângulos isósceles.

Figura 2: malha idêntica à da Figura 1, com os 16 triângulos numerados de 1 a 16 e uma linha pontilhada vermelha ligando os números em sequência por lados adjacentes.

De quantas maneiras Sérgio pode fazer isso?

  1. A
    16
  2. B
    32
  3. C
    48
  4. D
    56
  5. E
    64
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Em cada quadrado menor, os quatro triângulos formam um ciclo de vizinhanças. Entre quadrados menores, existem quatro passagens possíveis. A numeração deve usar três ou quatro delas: com menos, não alcançaria todos os quadrados.

Se usar três passagens, os quadrados ficam encadeados. Há 4 escolhas para a passagem não utilizada e 2 sentidos para percorrer a cadeia. Nos dois quadrados intermediários, o percurso é obrigatório: deve visitar os quatro triângulos entre a entrada e a saída. Em cada quadrado das pontas, há 2 maneiras de percorrer seus quatro triângulos. Portanto:

4\cdot2\cdot2\cdot2=32.

Se usar quatro passagens, o percurso dá uma volta pelos quadrados; logo, começa e termina no mesmo quadrado menor. Há 4 escolhas para esse quadrado. Nos outros três, o percurso é obrigatório.

No quadrado dos extremos, precisamos separar os quatro triângulos em dois trechos, cada um ligado a uma passagem. Há 3 possibilidades: dois pares de triângulos, ou um triângulo isolado e uma cadeia de três — com duas escolhas para o isolado. Cada percurso pode receber os números nos dois sentidos:

4\cdot3\cdot2=24.

Somando os casos, obtemos:

32+24=56.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B conta corretamente um dos casos, mas ignora os percursos que usam as quatro passagens entre quadrados.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão contabiliza todas as escolhas de percurso e de sentido da numeração.
  • BConta apenas os percursos que utilizam três passagens entre quadrados menores.
  • CNão corresponde à soma dos dois casos possíveis, que fornecem 32 e 24 numerações.
  • ESuperestima a contagem, pois as escolhas dentro dos quadrados são limitadas pelas entradas e saídas.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗