Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2017

Question

Em um dos lados de uma folha de papel grosso, Pedro desenhou a figura ao lado. Depois, recortou-a e montou uma torre em miniatura. Das cinco imagens abaixo, quais podem representar a torre montada por Pedro?

Planificação em cruz de uma torre com base quadrada no centro e quatro faces retangulares: uma com listras diagonais, uma com oito quadradinhos brancos, uma com oito círculos pretos e uma com oito círculos brancos. Nas extremidades de três das faces e no topo há abas triangulares rosas que formam o teto piramidal.

A
Imagens 1, 3 e 5
B
Imagens 1, 4 e 5
C
Imagens 1, 2 e 3
D
Imagens 2, 3 e 4
E
Imagens 3, 4 e 5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Em um dos lados de uma folha de papel grosso, Pedro desenhou a figura ao lado. Depois, recortou-a e montou uma torre em miniatura. Das cinco imagens abaixo, quais podem representar a torre montada por Pedro?

Planificação em cruz de uma torre com base quadrada no centro e quatro faces retangulares: uma com listras diagonais, uma com oito quadradinhos brancos, uma com oito círculos pretos e uma com oito círculos brancos. Nas extremidades de três das faces e no topo há abas triangulares rosas que formam o teto piramidal.

A
Imagens 1, 3 e 5
B
Imagens 1, 4 e 5
C
Imagens 1, 2 e 3
D
Imagens 2, 3 e 4
E
Imagens 3, 4 e 5

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Se numerarmos com I, II, III e IV as faces da figura na ordem em que elas serão coladas na montagem, como na figura, podemos verificar se, em cada imagem, as faces visíveis estão representadas adequadamente.

[Figura: Planificação em formato de cruz da torre, com setas e algarismos romanos identificando as faces: face I à direita, com círculos pretos; face II abaixo, com círculos vazados; face III à esquerda, com pequenos quadrados; face IV acima, com faixas diagonais paralelas.]

Na Imagem 1, temos coladas corretamente as faces I e IV; na Imagem 2, aparecem coladas as faces II e IV, o que é incorreto, pois elas são opostas; a Imagem 3 nos apresenta corretamente coladas as faces I e II, o que está correto; na Imagem 4, temos coladas as faces I e IV, mas a posição das faces está incorreta (é importante aqui observar a inclinação dos segmentos de reta da face IV); finalmente, na Imagem 5, temos corretamente coladas as faces III e IV. Portanto, somente as imagens 1, 3 e 5 podem representar a torre em miniatura montada por Pedro.

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Resolução comentada

Ao dobrar a planificação, o quadrado central forma a base, os retângulos formam as paredes e os triângulos formam o telhado. As faces que estão em lados opostos da base continuam opostas na torre.

Assim, as listras ficam opostas aos círculos brancos, e os quadradinhos ficam opostos aos círculos pretos. Isso elimina a imagem 2, pois ela mostra como vizinhas duas faces opostas.

Também precisamos preservar a ordem das faces ao redor da torre. Na planificação, essa ordem circular é:

\text{quadradinhos}\to\text{listras}\to\text{círculos pretos}\to\text{círculos brancos}.

Com o telhado para cima, as faces visíveis, da esquerda para a direita, devem seguir essa ordem, que recomeça depois dos círculos brancos.

A imagem 1 mostra listras e círculos pretos; a imagem 3, círculos pretos e círculos brancos; e a imagem 5, quadradinhos e listras. Todas respeitam a montagem.

Já a imagem 4 inverte a posição relativa dos círculos pretos e das listras: ela não pode ser obtida apenas girando a torre.

Portanto, são possíveis as imagens 1, 3 e 5.

Alternativa A.

Pegadinha: A imagem 4 engana porque mostra faces vizinhas, mas com a ordem invertida; não basta verificar apenas a vizinhança.

Por que as outras alternativas estão erradas

BInclui a imagem 4, que inverte a ordem das faces, e exclui a imagem 3, que é possível.
CInclui a imagem 2, que coloca faces opostas como vizinhas, e exclui a imagem 5.
DInclui as imagens 2 e 4, que não respeitam a disposição das faces na planificação.
EInclui a imagem 4, que inverte a ordem das faces, e exclui a imagem 1, que é possível.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Pirâmides e tronco de pirâmide.

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Questão 13 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗