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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Mônica e seu namorado foram assistir a uma peça de teatro. O auditório era organizado em fileiras paralelas ao palco, todas com o mesmo número de cadeiras dispostas lado a lado. Eles se sentaram um ao lado do outro nos dois últimos lugares vagos. Mônica percebeu que havia, no total, 14 pessoas nas fileiras à sua frente e 21 pessoas nas fileiras atrás da sua. Quantas cadeiras havia no auditório?

  1. A
    37
  2. B
    38
  3. C
    40
  4. D
    42
  5. E
    49
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O auditório está lotado: Mônica e o namorado ocuparam os dois últimos lugares vagos. Logo, o número de cadeiras é igual ao número de pessoas.

Todas as fileiras têm o mesmo número de cadeiras, chamado n. Como as fileiras estão cheias, as fileiras à frente da dela têm 14 pessoas e as de trás têm 21, e cada grupo é um número inteiro de fileiras: n divide 14 e divide 21. Isso vale também para a fileira dela.

  1. Divisores de 14: 1, 2, 7, 14.
  2. Divisores de 21: 1, 3, 7, 21.
  3. Divisores comuns: 1 e 7.

Com n=1, a fileira dela teria só uma cadeira, mas ela está sentada ao lado do namorado, então n\geq 2. Portanto n=7.

Fileiras à frente: 14\div 7=2. Fileiras atrás: 21\div 7=3. Mais a fileira dela, são 2+1+3=6 fileiras.

Total de cadeiras: 6\times 7=42.

Conferindo: a fileira dela tem 7 pessoas, então 14+7+21=42 pessoas, o que coincide com o número de cadeiras.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A (37) engana quem soma 14+21=35 e só acrescenta o casal, ignorando que a fileira dela também está cheia.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma só 14+21=35 e acrescenta 2 (Mônica e o namorado), esquecendo o restante da fileira dela.
  • BSoma 14+21 mais 3, valor sem relação com o número de cadeiras por fileira.
  • CNão é múltiplo de 7, então não corresponde a fileiras de 7 cadeiras.
  • EÉ 7\times 7; contaria 7 fileiras, mas há apenas 2+1+3=6.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Ver como caiu na prova Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗