Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Em uma competição, as partidas têm duração de 60 minutos, e cada time tem sempre 5 jogadores em campo. Em determinada partida, um time inscreveu 8 atletas e foram feitas várias substituições de modo que cada um deles jogou a mesma quantidade de tempo. Quanto tempo cada um deles jogou nessa partida?

Ilustração de cinco crianças correndo em um gramado enquanto outras três aguardam sentadas em um banco de reservas.

A
27 minutos e 30 segundos
B
30 minutos
C
37 minutos e 30 segundos
D
40 minutos
E
42 minutos e 30 segundos

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Razão e proporção

Em uma competição, as partidas têm duração de 60 minutos, e cada time tem sempre 5 jogadores em campo. Em determinada partida, um time inscreveu 8 atletas e foram feitas várias substituições de modo que cada um deles jogou a mesma quantidade de tempo. Quanto tempo cada um deles jogou nessa partida?

Ilustração de cinco crianças correndo em um gramado enquanto outras três aguardam sentadas em um banco de reservas.

A
27 minutos e 30 segundos
B
30 minutos
C
37 minutos e 30 segundos
D
40 minutos
E
42 minutos e 30 segundos

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Durante a partida foram formadas várias equipes de 5 atletas, até o tempo acabar. Observamos que:

a quantidade de tempo que o atleta 1 jogou (T1) é igual à soma dos tempos em jogo de cada uma das equipes de 5 de que ele participou (S1),
a quantidade de tempo que o atleta 2 jogou (T2) é igual à soma dos tempos em jogo de cada uma das equipes de 5 de que ele participou (S2) ,
e assim por diante, até o oitavo jogador:
a quantidade de tempo que o atleta 8 jogou (T8) é igual à soma dos tempos em jogo de cada uma das equipes de 5 de que ele participou (S8).

Cada atleta jogou a mesma quantidade de tempo (\text{T1} = \text{T2} = \text{T3} = \text{T4} = \text{T5} = \text{T6} = \text{T7} = \text{T8}); logo, o tempo que cada um jogou é (\text{S1} + \text{S2} + \text{S3} + \text{S4} + \text{S5} + \text{S6} + \text{S7} + \text{S8} ) \text{ ÷ } 8.

Agora, notamos que na soma \text{S1} + \text{S2} + \text{S3} + \text{S4} + \text{S5} + \text{S6} + \text{S7} + \text{S8} o tempo de jogo de cada equipe de 5 formada é somado 5 vezes. Por exemplo, se os atletas 1, 2, 3, 4 e 5 formaram uma equipe em campo, o tempo que essa equipe jogou foi considerado nas somas S1, S2, S3, S4 e S5. Assim, \text{S1} + \text{S2} + \text{S3} + \text{S4} + \text{S5} + \text{S6} + \text{S7} + \text{S8} = 5 \times 60 = 300, de onde concluímos que o tempo que cada um jogou é 300 \text{ ÷ } 8\text{ minutos}, o que corresponde a 37 minutos e 30 segundos.

Como curiosidade, observe no diagrama abaixo como poderia ter sido realizada uma partida nos moldes do enunciado:

[Figura: Diagrama de barras horizontais indicando o tempo de participação em campo dos Jogadores 1 a 8 ao longo de 60 minutos, divididos em intervalos de 7 min 30 s: 0 min, 7 min 30 s, 15 min, 22 min 30 s, 30 min, 37 min 30 s, 45 min, 52 min 30 s e 60 min. Cada jogador atua por cinco intervalos de 7 min 30 s (totalizando 37 min 30 s), mantendo exatamente 5 jogadores em campo a cada intervalo.]

Outra solução: Imagine que pagamos, em dinheiro, cada atleta proporcionalmente ao tempo que ele jogou. Se ele jogou um tempo T recebe k \times \text{T}. Como, a cada instante, temos 5 atletas em campo, no fim do jogo, teremos que pagar no total k \times 5 \times 60 = 300\text{ }k. Se cada um deles jogou o mesmo tempo, então receberá o mesmo pagamento que os demais. Como são 8 atletas, o soldo de cada um será 300 \times k/8. Para saber quanto tempo ele jogou, basta dividir por k, o que nos fornece (300 \times k) / (8 \times k) = 300/8\text{ minutos}.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A ideia é contar o tempo total de jogo de duas maneiras: pelo que acontece em campo e pelo que cada atleta joga.

Em campo há sempre 5 jogadores durante 60 minutos. O tempo total de jogo somado de todos os jogadores é:

5 \times 60 = 300\ \text{minutos-jogador}

Esse total é dividido igualmente entre os 8 atletas inscritos, pois todos jogaram o mesmo tempo:

\frac{300}{8} = 37{,}5\ \text{minutos}

Convertendo: 0{,}5\ \text{min} = 30\ \text{s}, então cada atleta jogou 37 minutos e 30 segundos.

Conferindo: 8 \times 37{,}5 = 300, o que bate com o total de 300 minutos-jogador.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

A27 min 30 s não fecha o total: 8 \times 27{,}5 = 220, e não 300.
B30 min seria a metade da partida, sem considerar que 5 de 8 jogadores estão em campo.
D40 min daria 8 \times 40 = 320, acima dos 300 minutos-jogador disponíveis.
E42 min 30 s daria 8 \times 42{,}5 = 340, mais do que o total possível.

Assuntos: Razão e proporção, Unidades de medida e conversões.

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Questão 11 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗