Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Por duas vezes Benício juntou, como na figura, três dados com faces numeradas de 1 a 6, de tal modo que faces em contato tivessem o mesmo número. Em cada uma das vezes ele somou os números de todas as faces que não ficaram em contato entre si. A diferença entre as somas obtidas foi 16. Quais são os números das faces que nunca ficaram em contato entre si?

Três dados vermelhos juntos em formato de L: um sobre o outro à esquerda, e um terceiro à direita do dado inferior. No dado de cima, veem-se os números 1 (face superior), 5 (face frontal esquerda) e 4 (face lateral direita). No dado inferior esquerdo, vê-se o número 5 na face frontal. No dado inferior direito, veem-se os números 6 (face superior), 2 (face frontal) e 4 (face lateral direita).

A
1 e 4
B
1 e 6
C
2 e 5
D
3 e 4
E
2 e 6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Por duas vezes Benício juntou, como na figura, três dados com faces numeradas de 1 a 6, de tal modo que faces em contato tivessem o mesmo número. Em cada uma das vezes ele somou os números de todas as faces que não ficaram em contato entre si. A diferença entre as somas obtidas foi 16. Quais são os números das faces que nunca ficaram em contato entre si?

Três dados vermelhos juntos em formato de L: um sobre o outro à esquerda, e um terceiro à direita do dado inferior. No dado de cima, veem-se os números 1 (face superior), 5 (face frontal esquerda) e 4 (face lateral direita). No dado inferior esquerdo, vê-se o número 5 na face frontal. No dado inferior direito, veem-se os números 6 (face superior), 2 (face frontal) e 4 (face lateral direita).

A
1 e 4
B
1 e 6
C
2 e 5
D
3 e 4
E
2 e 6

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observe que a soma dos números das seis faces de um dado é 21. Assim, a soma de todos os números dos três dados é 63. Consequentemente, a maior soma que Benício pode obter é igual a 57, quando as faces em contato corresponderem aos números 1 e 2. De fato, a menor soma possível para os números das faces em contato garante a maior soma possível para os números das faces que não ficam em contato: 57 = 63 - 6 = 63 - (1 + 1 + 2 + 2).

Analogamente, a menor soma possível para Benício obter é igual a 41, quando as faces em contato corresponderem aos números 5 e 6: 41 = 63 - 22 = 63 - (5 + 5 + 6 + 6).

Como 16 = 57 - 41, ou seja, 16 é o resultado da diferença entre a maior soma e a menor soma possíveis, essa foi a situação observada por Benício. De fato, as demais diferenças entre as possíveis somas são menores que 16, uma vez que esse é o resultado entre as duas situações extremas. Consequentemente, as faces que não ficaram em contato nas duas observações de Benício correspondem aos números 3 e 4.

Outra solução:

A soma dos números de cada dado é 21. Se, na primeira montagem, os números em contato são a e b, a soma dos números que não ficaram em contato é S_1 = 3 \times 21 - (2a + 2b) = 63 - 2(a + b). O fator 2 se explica notando que são sempre pares de faces em contato. Além disso, temos que a e b são necessariamente distintos.

Da mesma forma, na segunda montagem, se os números das faces em contato são c e d, a soma dos números que não ficaram em contato será S_2 = 63 - 2(c + d).

Sem perda de generalidade, podemos supor que S_1 \ge S_2.

A diferença entre esses números é 16, ou seja:

(63 - 2(a + b)) - (63 - 2(c + d)) = 16 \rightarrow (c + d) - (a + b) = 8.

Vamos analisar as possíveis soluções dessa equação, com a, b, c e d inteiros entre 1 e 6, e a \neq b e c \neq d.

O valor máximo de (c + d) - (a + b) é obtido quando c + d é máximo e a + b é mínimo. Isso ocorre com c + d = 5 + 6 = 11 e a + b = 1 + 2 = 3. Assim, a diferença que Benício encontrou é, justamente, a máxima possível. Isso implica que os números que nunca estiveram em contato são 3 e 4.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Em um dado comum, faces opostas somam 7, e as seis faces somam 1+2+\dots+6=21. Os três dados somam 63.

Há dois contatos: entre o dado de cima e o do meio, com número x, e entre o do meio e o da direita, com número y. Em cada contato, as duas faces têm o mesmo número, então saem 2x e 2y da soma total. A soma das faces livres é

63-2(x+y).

A diferença entre as duas somas é 16, então 2\,[(x+y)-(x'+y')]=16 e, portanto, as somas x+y das duas montagens diferem em 8.

Os números x e y ficam em duas faces vizinhas do dado do meio, que não podem ser iguais nem opostas. Logo x+y\neq 7 e x\neq y.

Somas com diferença 8 entre valores de 3 a 11:

3 e 11. Só servem 3=1+2 e 11=5+6.
4 e 12 não servem, pois 12=6+6 repete a face.
Os outros valores possíveis não têm par com diferença 8.

As faces do dado do meio que entram em contato são então 1,2,5,6. Sobram as faces 3 e 4, que são opostas entre si. Elas nunca ficam em contato.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO par 1 e 4 inclui o 1, que entra em contato na soma 3 (1+2).
BO par 1 e 6 inclui faces que entram em contato (1 em 1+2 e 6 em 5+6).
CO par 2 e 5 inclui faces que entram em contato nas somas 3 e 11.
EO par 2 e 6 inclui faces que entram em contato nas somas 3 e 11.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗