Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2017

Resolução comentada

Pela figura, D está no canto superior esquerdo, A embaixo à esquerda, C em cima à direita e B embaixo à direita. A semicircunferência de centro E tem diâmetro BC, então seu raio é 4{,}5 cm. Pela figura, a de centro F tem diâmetro sobre DC e passa por D, e a de centro G tem diâmetro sobre AD e passa por A.

Sejam r o raio da semicircunferência de centro F, e x = AG o raio da de centro G.

Ponha a origem em D, com o eixo x ao longo de DC e o eixo y para baixo ao longo de DA.

• F = (r, 0).
• E = (9, 4{,}5).
• G = (0, 9-x).

1. Tangência externa entre F e E: FE = r + 4{,}5.
   

   (9-r)^2 + 4{,}5^2 = (r+4{,}5)^2
   
   
   81 - 18r + r^2 + 20{,}25 = r^2 + 9r + 20{,}25
   
   
   81 = 27r \Rightarrow r = 3

2. Tangência externa entre G e F: GF = x + 3.
   

   3^2 + (9-x)^2 = (x+3)^2
   
   
   9 + 81 - 18x + x^2 = x^2 + 6x + 9
   
   
   81 = 24x \Rightarrow x = \frac{27}{8}

Logo AG = \dfrac{27}{8} cm.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com as equações de tangência; não satisfaz GF = AG + 3.
• BValor que não resulta da equação 81 = 24x; provável erro ao montar a distância entre centros.
• CValor que não resulta da equação 81 = 24x; provável erro de conta na tangência.
• DResultado de uma conta incorreta, pois 81/24 não dá 11/4.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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