Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Se a soma de quaisquer cinco caixas consecutivas é a mesma, então a sequência se repete de 5 em 5. Isso porque, ao comparar as caixas n a n+4 com as caixas n+1 a n+5, a diferença é a_{n+5}-a_n=0. Logo, a_{n+5}=a_n.

Assim, o valor de cada caixa depende apenas do resto da divisão do número da caixa por 5.

Chamemos de x as caixas 1, 6, 11, ... e de y as caixas 5, 10, 15, ... Pela figura:

• caixa 1: x (resto 1)
• caixa 2: 5 (resto 2)
• caixa 3: 9 (resto 3)
• caixa 4: 1 (resto 4)
• caixa 5: y (resto 0)

O ciclo é x,\,5,\,9,\,1,\,y. As caixas com 3 e 7 bolas são vizinhas, e 3 vem antes de 7. No ciclo, os únicos pares vizinhos com um valor desconhecido são (1,y) e (y,x) e (x,5). Como 7 não pode ser 5, 9 nem 1, e 3 também não, os valores 3 e 7 só podem ser y=3 e x=7, na ordem y, x (caixa de resto 0 seguida da de resto 1).

Portanto x=7 e y=3.

A última caixa é a 2016. Como 2016=5\cdot 403+1, ela tem resto 1, o mesmo da caixa 1. Logo, tem x=7 bolas.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa o valor da caixa 4 (1 bola), mas 2016 deixa resto 1, não 4.
• BToma o valor da caixa de resto 0 (3 bolas), erro ao calcular o resto de 2016 por 5.
• CUsa o valor da caixa 2 (5 bolas), que tem resto 2, e não resto 1.
• EUsa o valor da caixa 3 (9 bolas), que tem resto 3, e não resto 1.

Assunto: Sequências e padrões.

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