Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2016

Resolução comentada

A ideia é dividir o quadrilátero ACDF em dois triângulos pela diagonal AD e calcular a área de cada um separadamente.

A área de um triângulo é \frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}. Qualquer lado pode ser a base, desde que a altura seja medida perpendicularmente a ele.

1. Triângulo ACD: tome como base CD = 2, que está sobre a reta BD. A altura é a distância de A a essa reta. Como \hat{B} é reto, AB \perp BD, então a altura é AB = 10.
   

   \text{Área}(ACD)=\frac{2\cdot 10}{2}=10

2. Triângulo AFD: tome como base FA = 6, que está sobre a reta AE. A altura é a distância de D a essa reta. Como \hat{E} é reto, DE \perp AE, então a altura é DE = 7.
   

   \text{Área}(AFD)=\frac{6\cdot 7}{2}=21

3. O quadrilátero ACDF é a união desses dois triângulos, que dividem a diagonal AD e não se sobrepõem:
   

   10+21=31

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASoma só as medidas dos lados 10 e 6, ou erra a divisão, sem calcular as áreas dos triângulos.
• BCalcula apenas a área do triângulo AFD e esquece o triângulo ACD.
• DNão corresponde a nenhuma soma correta de áreas; erro de conta ou de escolha das alturas.
• EUsa produtos sem dividir por 2 em parte dos cálculos (por exemplo, 20+21).

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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