Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2016

Question

O quadrado da figura está inscrito no semicírculo e o círculo está inscrito no quadrado. O círculo tem área igual a 10\ \text{cm}^2. Qual é a área do semicírculo?

Quadrado inscrito em um semicírculo com a base sobre o diâmetro e os vértices superiores sobre o arco da semicircunferência, contendo um círculo inscrito tangente aos quatro lados do quadrado.

A
25\ \text{cm}^2
B
30\ \text{cm}^2
C
35\ \text{cm}^2
D
40\ \text{cm}^2
E
45\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

O quadrado da figura está inscrito no semicírculo e o círculo está inscrito no quadrado. O círculo tem área igual a 10\ \text{cm}^2. Qual é a área do semicírculo?

Quadrado inscrito em um semicírculo com a base sobre o diâmetro e os vértices superiores sobre o arco da semicircunferência, contendo um círculo inscrito tangente aos quatro lados do quadrado.

A
25\ \text{cm}^2
B
30\ \text{cm}^2
C
35\ \text{cm}^2
D
40\ \text{cm}^2
E
45\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos chamar de r e R o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio do semicírculo, respectivamente. Como a circunferência está inscrita no quadrado, temos que o lado do quadrado mede 2r. Observando o triângulo retângulo destacado na figura e usando o teorema de Pitágoras, podemos escrever:

R^2 = 4r^2 + r^2 = 5r^2

Assim, a área do semicírculo é \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{5}{2}\pi r^2 = \frac{5}{2} \cdot 10 = 25\text{ cm}^2.

[Figura: Semicírculo com a base horizontal contendo um quadrado inscrito com a base sobre o diâmetro. Inscrito no quadrado, há um círculo sombreado de cinza. Uma linha vermelha de comprimento R liga o ponto médio da base do quadrado ao seu vértice superior direito, que toca o arco do semicírculo, formando um triângulo retângulo com o cateto vertical medindo 2r e o cateto horizontal medindo r.]

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Resolução comentada

Seja r o raio do círculo inscrito no quadrado. Então o lado do quadrado é 2r.

A área do círculo é \pi r^2 = 10.

O quadrado tem a base sobre o diâmetro do semicírculo, com o centro O do semicírculo no ponto médio dessa base. Os vértices superiores estão sobre o arco.

Metade da base do quadrado: r, ou seja, a distância horizontal de O a um vértice superior.
Altura do vértice superior: 2r (o lado do quadrado).
O raio R do semicírculo é a distância de O a esse vértice, pelo teorema de Pitágoras:

R^2 = r^2 + (2r)^2 = 5r^2

A área do semicírculo é

\frac{\pi R^2}{2} = \frac{5\pi r^2}{2} = \frac{5\cdot 10}{2} = 25\ \text{cm}^2

Não precisamos calcular r: basta usar o valor de \pi r^2 dado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhum cálculo correto; resulta de erro na relação entre R e r.
CValor sem relação com R^2=5r^2; erro na relação geométrica.
DCorresponde a usar R^2=4r^2 sem dividir por 2 do semicírculo (ou área do círculo inteiro erradamente), não segue da figura.
EEsquece de dividir por 2 ao passar do círculo para o semicírculo e usa R^2=4{,}5r^2 sem justificativa.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 10 no caderno Nível 3 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗